• Questão 5 : (2 pontos) Para os operadores a seguir, determine os autovalores e os autovetores.
    T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+2 y, 2 x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x+2y,\;2x+2y)
e pede para encontrar os autovalores e os autovetores. Vamos representar T pela sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}2 & 2\\\\ 2 & 2\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+2y\\\ 2x+2y\end{pmatrix} = T(x,y).

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\\\ 2 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 2\cdot 2 = \lambda^2 - 4\lambda = \lambda(\lambda - 4).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 4.

Passo 4

Para \lambda_1 = 0, resolvemos
(A - 0\cdot I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2 & 2\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá a equação 2x+2y=0, isto é x+y=0. Logo o autovetor é da forma
v = (t,\,-t),\quad t\neq 0.
Para \lambda_2 = 4, resolvemos
(A - 4I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-2 & 2\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá -2x+2y=0, isto é y=x. Logo o autovetor é da forma
v = (t,\,t),\quad t\neq 0.

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
\lambda_1 = 0 com espaço próprio gerado por (1,-1),
\lambda_2 = 4 com espaço próprio gerado por (1,1).

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