1^{\text {a }} Questão ( 2,0 pontos) Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr).
Estamos no tema de limites indeterminados do tipo \tfrac{\infty-\infty}{\!} e vamos usar desenvolvimento em série de Taylor ao redor de x=1.

Passo 2

Expandimos o primeiro termo em potências de (x-1):
\frac{x}{x-1} =\frac{1+(x-1)}{x-1} =\frac{1}{x-1}+1.

Passo 3

Expandimos \ln x e em seguida 1/\ln x.
\ln x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+O((x-1)^3) =(x-1)\Bigl[1-\tfrac{x-1}{2}+O((x-1)^2)\Bigr].
Logo,
\frac{1}{\ln x} =\frac{1}{x-1}\,\frac{1}{1-\tfrac{x-1}{2}+O((x-1)^2)} =\frac{1}{x-1}\Bigl[1+\tfrac{x-1}{2}+O((x-1)^2)\Bigr] =\frac{1}{x-1}+\frac12+O(x-1).

Passo 4

Subtraímos as duas expansões:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} =\Bigl[\tfrac{1}{x-1}+1\Bigr] -\Bigl[\tfrac{1}{x-1}+\tfrac12+O(x-1)\Bigr] =1-\tfrac12+O(x-1) =\frac12+O(x-1).

Passo 5

Como O(x-1)\to0 quando x\to1, concluímos que
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr) =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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