• Questão 5 : (2 pontos) Para os operadores a seguir, determine os autovalores e os autovetores.
    T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+z,-y, x+z)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (x+z,\,-y,\,x+z)
e pede autovalores e autovetores. Vamos trabalhar com a representação matricial de T na base canônica, depois calcular o polinômio característico, achar suas raízes ( = autovalores) e, para cada autovalor, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Para a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, vemos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(0,-1,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(1,0,1).
Portanto a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\chi(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & -1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda linha, obtemos
\chi(\lambda) = (-1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2 - 1\bigr) = -(\lambda+1)\bigl(\lambda(\lambda-2)\bigr) = -\lambda(\lambda+1)(\lambda-2).

Passo 4

As raízes do polinômio são
\lambda = 0,\quad \lambda = -1,\quad \lambda = 2.
Estes são os autovalores de T.

Passo 5

Para \lambda=2\), resolvemos \[(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} -\,x + z = 0,\\\\ -\,3y = 0,\\\ x - z = 0. \end{cases}
Dessas equações vem y=0\] e \(x=z. Assim o autovetor geral é
v = t\,(1,0,1),\quad t\neq0.

Passo 6

Para \lambda=-1\), resolvemos \[(A + I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x + z = 0,\\\\ 0\cdot y = 0,\\\ x + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira e da terceira vem x=0\] e \(z=0, enquanto y é livre. Logo
v = t\,(0,1,0),\quad t\neq0.

Passo 7

Para \lambda=0\), resolvemos \[A\,v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x + z = 0,\\\\ -\,y = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Daí y=0\] e \(z=-x. Assim
v = t\,(1,0,-1),\quad t\neq0.

Resposta

Os autovalores e respectivos autovetores de T são:
\lambda=2, autovetores \{t(1,0,1)\mid t\neq0\}
\lambda=-1, autovetores \{t(0,1,0)\mid t\neq0\}
\lambda=0, autovetores \{t(1,0,-1)\mid t\neq0\}

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