Questão 5 : (2 pontos) Para os operadores a seguir, determine os autovalores e os autovetores. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+z,-y, x+z)
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (x+z,\,-y,\,x+z)
e pede autovalores e autovetores. Vamos trabalhar com a representação matricial de T na base canônica, depois calcular o polinômio característico, achar suas raízes (= autovalores) e, para cada autovalor, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Para \lambda=2\), resolvemos
\[(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} -\,x + z = 0,\\\\ -\,3y = 0,\\\ x - z = 0. \end{cases}
Dessas equações vem y=0\] e \(x=z. Assim o autovetor geral é
v = t\,(1,0,1),\quad t\neq0.
Passo 6
Para \lambda=-1\), resolvemos
\[(A + I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x + z = 0,\\\\ 0\cdot y = 0,\\\ x + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira e da terceira vem x=0\] e \(z=0, enquanto y é livre. Logo
v = t\,(0,1,0),\quad t\neq0.
Passo 7
Para \lambda=0\), resolvemos
\[A\,v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x + z = 0,\\\\ -\,y = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Daí y=0\] e \(z=-x. Assim
v = t\,(1,0,-1),\quad t\neq0.
Resposta
Os autovalores e respectivos autovetores de T são: \lambda=2, autovetores \{t(1,0,1)\mid t\neq0\} \lambda=-1, autovetores \{t(0,1,0)\mid t\neq0\} \lambda=0, autovetores \{t(1,0,-1)\mid t\neq0\}