Questão 1. (2,0 pontos) Os psicólogos interessados em teoria da aprendizagem, estudam as curvas de aprendizado. Sendo p(t) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como função do tempo. de treinamento e sendo d pd t a taxa em que o desempenho melhora. Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz é capaz de aprender e considerando p(1)=10 e a constante da integração c=k=1. Determine M , para d pd t=k(M-p).

Passo 1

Beleza, olha o que temos:
A equação diferencial é
dpdt=k,(M-p),
e a gente sabe que p(1)=10. Além disso, disseram que a constante de integração c e k valem 1.
O conteúdo aqui é Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem, método de separação de variáveis e exponenciais. Vamos precisar:
  1. separar variáveis;
  2. integrar cada lado;
  3. usar a constante de integração;
  4. aplicar a condição inicial pra achar M.

Passo 2

  1. Separa as variáveis:
dpM-p=k,dt
  1. Faz a integração de cada lado:
    integral dpM-p=integral k,dt.
    Para integral dpM-p usamos a substituição
    u=M-p implies du=-dp, então
integral dpM-p =-integralduu =-lnlvert urvert =-lnlvert M-prvert
Do outro lado integral k,dt = k,t + C.
Ficamos com
-lnlvert M-prvert = k,t + C
  1. Multiplicando por -1 e reorganizando o “ C”:
lnlvert M-prvert = -k,t + c,
onde c=-C é nossa constante de integração.
4) Exponenciando:
M-p = e^,c - k,t Longrightarrow p(t)=M - e^,c - k,t

Passo 3

Agora põe k=1 e c=1:
p(t)=M - e^,1 - t
Aplica p(1)=10:
10 = M - e^,1 - 1 = M - e^0 = M - 1 ;;Longrightarrow;; M = 10 + 1 = 11

Resposta

M = 11.

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