Sejam
inteiros. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade em
: se um inteiro divide dois números, ele também divide qualquer combinação linear, e o máximo divisor comum é o maior elemento desses divisores comuns.
Passo 2
Vamos provar primeiro que todo divisor comum a
e
também divide
. Seja
tal que
e
. Como
e
, temos
. Logo, qualquer divisor comum de
é também divisor comum de
.
Passo 3
Agora, mostremos a recíproca: todo divisor comum a
e
divide
. Se
e
, então
divide a diferença entre essas quantidades:
. Logo,
. Assim, qualquer divisor comum de
é divisor comum de
.
Passo 4
Como os conjuntos de divisores comuns de
e de
coincidem, seus maiores elementos também coincidem. Portanto,
.