Sejam a, b, c inteiros. Prove que:
m d c(a, b)=m d c(a, a pm b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que mdc(a,b)=mdc(a,apm b). O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade em Z: se um inteiro divide dois números, ele também divide qualquer combinação linear, e o máximo divisor comum é o maior elemento desses divisores comuns.

Passo 2

Vamos provar primeiro que todo divisor comum a a e b também divide apm b. Seja d tal que dmid a e dmid b. Como dmid a e dmid b, temos dmid(apm b). Logo, qualquer divisor comum de (a,b) é também divisor comum de (a,apm b).

Passo 3

Agora, mostremos a recíproca: todo divisor comum a a e apm b divide b. Se dmid a e dmid(apm b), então d divide a diferença entre essas quantidades: (apm b)-a=pm b. Logo, dmid b. Assim, qualquer divisor comum de (a,apm b) é divisor comum de (a,b).

Passo 4

Como os conjuntos de divisores comuns de (a,b) e de (a,apm b) coincidem, seus maiores elementos também coincidem. Portanto, mdc(a,b)=mdc(a,apm b).

Resposta

mdc(a,b)=mdc(a,apm b)

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