Questão 4 (2,0 pontos) Resolva a EDO de Bernoulli apresentada a seguir, transformando-a em uma EDO linear por meio de uma substituição de variável adequada.
\frac{d y}{d x}-2 y=e^{2 x} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Bernoulli
\frac{dy}{dx}-2y=e^{2x}y^{3}
transformando-a em uma EDO linear por meio de uma substituição adequada. O conteúdo é a técnica de resolução de equações de Bernoulli, que consiste em escrever a EDO na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}
e usar a substituição
z=y^{1-n}
para obter uma EDO linear em z.

Passo 2

Identificamos P(x)=-2, Q(x)=e^{2x} e n=3. Então fazemos a substituição
z=y^{1-3}=y^{-2}.
Calculamos
\frac{dz}{dx}=-2\,y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Na EDO original temos \frac{dy}{dx}=2y+e^{2x}y^{3}. Logo
\frac{dz}{dx} =-2\,y^{-3}\bigl(2y+e^{2x}y^{3}\bigr) =-4y^{-2}-2e^{2x} =-4z-2e^{2x}.
Assim obtemos a EDO linear em z:
\frac{dz}{dx}+4z=-2e^{2x}.

Passo 3

Para resolver
\frac{dz}{dx}+4z=-2e^{2x},
calculamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int 4\,dx}=e^{4x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x):
e^{4x}\frac{dz}{dx}+4e^{4x}z =\frac{d}{dx}\bigl(z\,e^{4x}\bigr) =-2e^{2x}e^{4x}=-2e^{6x}.
Integrando ambos os lados:
z\,e^{4x}=\int -2e^{6x}\,dx =-\frac{2}{6}e^{6x}+C =-\tfrac{1}{3}e^{6x}+C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
z=-\tfrac{1}{3}e^{6x}e^{-4x}+Ce^{-4x} =-\tfrac{1}{3}e^{2x}+Ce^{-4x}.

Passo 4

Voltando à variável original y, lembramos que z=y^{-2}. Logo
\frac{1}{y^{2}}=z =-\tfrac{1}{3}e^{2x}+Ce^{-4x}.
Invertendo, obtemos
y^{2} =\frac{1}{\,Ce^{-4x}-\tfrac{1}{3}e^{2x}\,},
e portanto
y(x) =\pm\frac{1}{\sqrt{\,Ce^{-4x}-\tfrac{1}{3}e^{2x}\,}}.

Resposta

y(x) =\pm\frac{1}{\sqrt{C e^{-4x}-\tfrac{1}{3}e^{2x}}},
com C constante arbitrária.

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