Questão 4 (2,0 pontos) Resolva a EDO de Bernoulli apresentada a seguir, transformando-a em uma EDO linear por meio de uma substituição de variável adequada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de Bernoulli
transformando-a em uma EDO linear por meio de uma substituição adequada. O conteúdo é a técnica de resolução de equações de Bernoulli, que consiste em escrever a EDO na forma
e usar a substituição
para obter uma EDO linear em
.
Passo 2
Identificamos
,
e
. Então fazemos a substituição
Calculamos
Na EDO original temos
. Logo
Assim obtemos a EDO linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante arbitrária. Portanto
Passo 4
Voltando à variável original
, lembramos que
. Logo
Invertendo, obtemos
e portanto
Resposta
com
constante arbitrária.