Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
c) Seja
, onde
. Mostre que
é um homomorfismo de grupos.
c) Seja
Passo 1
O enunciado define
por
,
onde e
são grupos multiplicativos. Vamos mostrar que
preserva a operação, isto é,
por
onde
para todo
.
Passo 2
Verificamos primeiro que a imagem de
está mesmo em
. Para todo
tem-se
, logo
.
Passo 3
Usamos a propriedade fundamental do módulo na multiplicação de complexos. Para quaisquer
,
Resposta
Como
phi(z1z2)=phi(z1),phi(z2) para todo
z1,z2 e
phi(z)in R^* , concluímos que
phi é um homomorfismo de grupos.