Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
c) Seja phi: C^* R^*, onde phi(z)=|z|. Mostre que phi é um homomorfismo de grupos.

Passo 1

O enunciado define
phi: C^*to R^*
por
phi(z)=|z|,
onde C^* e R^* são grupos multiplicativos. Vamos mostrar que phi preserva a operação, isto é,
phi(z1z2)=phi(z1),phi(z2)
para todo z1,z2in C^*.

Passo 2

Verificamos primeiro que a imagem de phi está mesmo em R^*. Para todo zin C^* tem-se |z|>0, logo phi(z)=|z|in R^*.

Passo 3

Usamos a propriedade fundamental do módulo na multiplicação de complexos. Para quaisquer z1,z2in C^*,
phi(z1z2) = l|z1z2r| = |z1|,|z2| = phi(z1),phi(z2)

Resposta

Como phi(z1z2)=phi(z1),phi(z2) para todo z1,z2 e phi(z)in R^*, concluímos que phi é um homomorfismo de grupos.

Exercícios relacionados