Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
a) Seja
e
no grupo
. Calcule:
2.
, ou seja, a composição de
seguida de
.
a) Seja
2.
Passo 1
O enunciado dá duas permutações em
:
e
, e pede o produto
, ou seja, a composição de
seguida de
.
O conteúdo é teoria de grupos finitos e notação de permutações por ciclos.
O conteúdo é teoria de grupos finitos e notação de permutações por ciclos.
Passo 2
Lembramos que, nessa convenção,
isto é, primeiro aplicamos
em
e depois aplicamos
ao resultado.
Passo 3
Vamos calcular
para cada
:
- Para
: , depois . Então . - Para
: , depois . Então . - Para
: , depois . Então . - Para
: , depois . Então .
Passo 4
Agrupando essas imagens em ciclos disjuntos, vemos:
e
fica fixo. Isso corresponde ao ciclo
com
isolado (fixo).