Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
a) Seja sigma=(lll1 & 2 & 3) e tau=(ll1 & 3)(24) no grupo S4. Calcule:
2. tau sigma, ou seja, a composição de tau seguida de sigma.

Passo 1

O enunciado dá duas permutações em S4:
sigma = (1,2,3) e tau = (1,3)(2,4), e pede o produto
tausigma, ou seja, a composição de sigma seguida de tau.
O conteúdo é teoria de grupos finitos e notação de permutações por ciclos.

Passo 2

Lembramos que, nessa convenção,
(tausigma)(x) ;=;taul(sigma(x)r),
isto é, primeiro aplicamos sigma em x e depois aplicamos tau ao resultado.

Passo 3

Vamos calcular (tausigma)(x) para cada xin1,2,3,4:
  • Para x=1: sigma(1)=2, depois tau(2)=4. Então (tausigma)(1)=4.
  • Para x=2: sigma(2)=3, depois tau(3)=1. Então (tausigma)(2)=1.
  • Para x=3: sigma(3)=1, depois tau(1)=3. Então (tausigma)(3)=3.
  • Para x=4: sigma(4)=4, depois tau(4)=2. Então (tausigma)(4)=2.

Passo 4

Agrupando essas imagens em ciclos disjuntos, vemos:
1mapsto4, 4mapsto2, 2mapsto1,
e 3 fica fixo. Isso corresponde ao ciclo
(1,4,2),
com 3 isolado (fixo).

Resposta

tausigma = (1,4,2)

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