Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
e) Mostre que a composição de dois homomorfismos de grupos
e
é também um homomorfismo de grupos.
e) Mostre que a composição de dois homomorfismos de grupos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas aplicações
e
que são homomorfismos de grupos, a composição
também é homomorfismo. Vamos usar a definição de homomorfismo de grupos, que exige preservação da operação.
Passo 2
Pela definição de homomorfismo, temos para todos
e para todos
Passo 3
Para verificar que
preserva o produto em
, tome
. Então
Isso mostra que
satisfaz a condição de homomorfismo.
Passo 4
Como consequência, também temos
o que garante o comportamento correto da identidade (e, por consequência, dos inversos).
Resposta
Portanto, a composição
é um homomorfismo de grupos.