Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
e) Mostre que a composição de dois homomorfismos de grupos phi: G H e psi: H K é também um homomorfismo de grupos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas aplicações
phicolon Gto H e psicolon Hto K que são homomorfismos de grupos, a composição
psicircphicolon Gto K também é homomorfismo. Vamos usar a definição de homomorfismo de grupos, que exige preservação da operação.

Passo 2

Pela definição de homomorfismo, temos para todos g1,g2in G
phi(g1g2)=phi(g1),phi(g2)
e para todos h1,h2in H
psi(h1h2)=psi(h1),psi(h2)

Passo 3

Para verificar que psicircphi preserva o produto em G, tome g1,g2in G. Então
(psicircphi)(g1g2) =psil(phi(g1g2)r) =psil(phi(g1),phi(g2)r) =psil(phi(g1)r),psil(phi(g2)r) =(psicircphi)(g1),(psicircphi)(g2)
Isso mostra que psicircphi satisfaz a condição de homomorfismo.

Passo 4

Como consequência, também temos
(psicircphi)(eG) =psil(phi(eG)r) =psi(eH) =eK,
o que garante o comportamento correto da identidade (e, por consequência, dos inversos).

Resposta

Portanto, a composição psicircphicolon Gto K é um homomorfismo de grupos.

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