Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
d) Dado phi: G H um homomorfismo de grupos, prove que o núcleo de phi, definido como
ker(phi)=g in G mid phi(g)=eH
é um subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um homomorfismo de grupos phi: G to H, o conjunto
ker(phi)=gin Gmid phi(g)=eH
é um subgrupo normal de G. Vamos usar dois fatos básicos: o critério de subgrupo (identidade, fechamento em g h^-1) e a caracterização de normalidade por conjugação, isto é, g,N,g^-1subseteq N para todo gin G.

Passo 2

Mostramos primeiro que ker(phi) é subgrupo de G.
  1. Existência da identidade: como phi é homomorfismo, phi(eG)=eH, então eGinker(phi).
  2. Fechamento em produto e inverso: tomemos a,binker(phi). Então phi(a)=eH e phi(b)=eH. Como
phil(a,b^-1r)=phi(a),phi(b^-1) =phi(a),l[phi(b)r]^-1 =eH,eH^-1 =eH,
seguimos que a,b^-1inker(phi). Pelo critério de subgrupo, isso garante que ker(phi) é um subgrupo de G.

Passo 3

Agora exibimos que ker(phi) é normal em G. Seja gin G e kinker(phi). Como phi preserva produtos e inversos,
phil(g,k,g^-1r) =phi(g),phi(k),phi(g^-1) =phi(g),eH,phi(g)^-1 =phi(g),phi(g)^-1 =eH
Logo g,k,g^-1inker(phi) para todo gin G e todo kinker(phi), o que mostra a normalidade de ker(phi).

Resposta

O núcleo ker(phi) é um subgrupo normal de G.

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