Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
d) Dado
um homomorfismo de grupos, prove que o núcleo de
, definido como
é um subgrupo normal de
.
d) Dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um homomorfismo de grupos
, o conjunto
é um subgrupo normal de
. Vamos usar dois fatos básicos: o critério de subgrupo (identidade, fechamento em
) e a caracterização de normalidade por conjugação, isto é,
para todo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é subgrupo de
.
- Existência da identidade: como
é homomorfismo, , então . - Fechamento em produto e inverso: tomemos
. Então e . Como
seguimos que
. Pelo critério de subgrupo, isso garante que
é um subgrupo de
.
Passo 3
Agora exibimos que
é normal em
. Seja
e
. Como
preserva produtos e inversos,
Logo
para todo
e todo
, o que mostra a normalidade de
.
Resposta
O núcleo
é um subgrupo normal de
.