Questão 3 (1 pontos) Resolva os itens sobre permutações e homomorfismos de grupos:
a) Seja sigma=(lll1 & 2 & 3) e tau=(ll1 & 3)(24) no grupo S4. Calcule:
  1. sigma tau, ou seja, a composição de sigma seguida de tau.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a composição “ sigma seguida de tau”, ou seja, o produto
sigmatau = taucircsigma
no grupo S4. O conteúdo aqui é composição de permutações, e vamos usar o fato de que (taucircsigma)(x)=taul(sigma(x)r) para cada xin1,2,3,4.

Passo 2

Escrevemos primeiro sigma e tau em forma de imagem:
sigma=(1;2;3) significa
sigma:1mapsto2,;2mapsto3,;3mapsto1,;4mapsto4.
tau=(1;3)(2;4) significa
tau:1mapsto3,;3mapsto1,;2mapsto4,;4mapsto2.

Passo 3

Agora calculamos (taucircsigma)(x) para cada x:
  • Para x=1: sigma(1)=2 e tau(2)=4, logo (taucircsigma)(1)=4.
  • Para x=2: sigma(2)=3 e tau(3)=1, logo (taucircsigma)(2)=1.
  • Para x=3: sigma(3)=1 e tau(1)=3, logo (taucircsigma)(3)=3.
  • Para x=4: sigma(4)=4 e tau(4)=2, logo (taucircsigma)(4)=2.

Passo 4

Da tabela de imagens
1mapsto4,4mapsto2,2mapsto1,3mapsto3
vemos o ciclo (1;4;2) e 3 fica fixo. Portanto a composição é
sigmatau = (1;4;2)

Resposta

(1;4;2)

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