Questão 2 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre teorema de Lagrange e classes laterais:
c) Seja G=Z12 (os inteiros módulo 12 sob adição) e H=0,4,8. Liste todas as classes laterais à esquerda de H em G.

Passo 1

O enunciado pede para listar todas as classes laterais à esquerda de H=0,4,8 no grupo (Z12,+). O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos, mais precisamente definição de classe lateral (ou coset) e uso do Teorema de Lagrange para contar quantas existem.

Passo 2

A definição de classe lateral à esquerda de H por um elemento gin G é
g+H=,g+hmid hin H
Como lvert Grvert=12 e lvert Hrvert=3, o índice [G : H]=123=4. Isso significa que existem exatamente 4 classes laterais distintas.

Passo 3

Basta então calcular g+H para quatro representantes distintos em Z12. Tomemos g=0,1,2,3:
0+H=0+0,,0+4,,0+8=0,4,8,
1+H=1+0,,1+4,,1+8=1,5,9,
2+H=2+0,,2+4,,2+8=2,6,10,
3+H=3+0,,3+4,,3+8=3,7,11

Passo 4

Para os demais gin4,5,dots,11 vemos que
4+H=0+H,;5+H=1+H,;dots,;11+H=3+H,
ou seja, não surgem novas classes além das quatro já listadas.

Resposta

0,4,8,;1,5,9,;2,6,10,;3,7,11.

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