Questão 2 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre teorema de Lagrange e classes laterais:
d) Dado G=Z20 e H=0,5,10,15, mostre que G / H, o conjunto das classes laterais de H, tem exatamente 5 elementos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em G=Z20 (grupo aditivo módulo 20) com
H=0,5,10,15,
o conjunto quociente G/H (as classes laterais de H em G) tem exatamente 5 elementos. Vamos usar o Teorema de Lagrange, que diz que, em um grupo finito, o índice [G:H] (número de classes laterais) é
[G:H] ;=;|G||H|

Passo 2

Primeiro conferimos que H é subgrupo de G. Como G é aditivo, basta ver que H é fechado sob soma e possui inversos:
  • Soma de dois múltiplos de 5 é múltiplo de 5, logo fecha em H.
  • Inverso de 5k em Z20 é 20-5k=5(4-k), também em H.
    Portanto |H|=4.

Passo 3

Pelo Teorema de Lagrange,
[G:H] ;=;|G||H| ;=;204 ;=;5
Isso já garante que existem 5 classes laterais distintas.

Passo 4

Para ver concretamente essas 5 classes, escolhemos representantes 0,1,2,3,4. As classes são:
0+H = 0,5,10,15,
1+H = 1,6,11,16,
2+H = 2,7,12,17,
3+H = 3,8,13,18,
4+H = 4,9,14,19
Elas são disjuntas e cobrem todo Z20, mostrando que #(G/H)=5.

Resposta

O conjunto quociente G/H tem exatamente 5 elementos.

Exercícios relacionados