Questão 2 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre teorema de Lagrange e classes laterais:
d) Dado
e
, mostre que
, o conjunto das classes laterais de
, tem exatamente 5 elementos.
d) Dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
(grupo aditivo módulo 20) com
o conjunto quociente
(as classes laterais de
em
) tem exatamente 5 elementos. Vamos usar o Teorema de Lagrange, que diz que, em um grupo finito, o índice
(número de classes laterais) é
Passo 2
Primeiro conferimos que
é subgrupo de
. Como
é aditivo, basta ver que
é fechado sob soma e possui inversos:
- Soma de dois múltiplos de 5 é múltiplo de 5, logo fecha em
. - Inverso de
em é , também em .
Portanto.
Passo 3
Pelo Teorema de Lagrange,
Isso já garante que existem 5 classes laterais distintas.
Passo 4
Para ver concretamente essas 5 classes, escolhemos representantes
. As classes são:
Elas são disjuntas e cobrem todo
, mostrando que
.
Resposta
O conjunto quociente
tem exatamente 5 elementos.