Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
c) Determine se o subgrupo
do grupo
é normal.
c) Determine se o subgrupo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subgrupo normal de
.
O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em especial a definição de subgrupo normal e as classes de conjugação em .
é subgrupo normal de
O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em especial a definição de subgrupo normal e as classes de conjugação em
Passo 2
Lembrando que um subgrupo
de
é normal sse
Isto significa que, para todo
e todo
, o elemento
deve pertencer a .
deve pertencer a
Passo 3
Em
as transposições duplas
,
e
formam uma única classe de conjugação (tamanho 3). Contudo, contém apenas
dessa classe. Por exemplo, tomando
,
temos
formam uma única classe de conjugação (tamanho 3). Contudo,
temos
e clareamente
.
Passo 4
Como existe
tal que
,
a condição de normalidade falha.
a condição de normalidade falha.