Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
c) Determine se o subgrupo H=e,(12)(34) do grupo G=S4 é normal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
H = e,,(12)(34)
é subgrupo normal de
G = S4.
O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em especial a definição de subgrupo normal e as classes de conjugação em S4.

Passo 2

Lembrando que um subgrupo H de G é normal sse
forall g in G, gHg^-1 = H
Isto significa que, para todo hin H e todo gin G, o elemento
;g,h,g^-1
deve pertencer a H.

Passo 3

Em S4 as transposições duplas
(12)(34), (13)(24) e (14)(23)
formam uma única classe de conjugação (tamanho 3). Contudo, H contém apenas (12)(34) dessa classe. Por exemplo, tomando
;g=(13)in S4,
temos
g,(12)(34),g^-1 = (13),(12)(34),(13) = (23)(14),
e clareamente (23)(14)notin H.

Passo 4

Como existe gin G tal que
;g,(12)(34),g^-1notin H,
a condição de normalidade falha.

Resposta

H não é normal em S4.

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