Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
e) Dado G=S3, o grupo das permutações de 3 elementos, determine se o subgrupo A3=e,(lll1 & 2 & 3),(lll1 & 3 & 2) é normal em G.

Passo 1

O enunciado define o grupo G=S3 e o subgrupo
A3 = ,e,,(1,2,3),,(1,3,2)
e pede para verificar se A3 é normal em G. O conteúdo aqui é subgrupos normais, ou seja, testar se vale
gA3g^-1=A3forall,gin S3
ou usar um critério de índice de subgrupo.

Passo 2

Calculamos as ordens:
|S3| = 6, |A3| = 3
Portanto o índice é
[S3 : A3] = 63 = 2
Há um teorema geral que diz: todo subgrupo de índice 2 é normal no grupo ambient.

Passo 3

Para ver diretamente pela definição, note que a conjugação preserva o sinal da permutação. De fato, para gin S3 e hin A3 (permutações pares),
sgn(ghg^-1) =sgn(g),sgn(h),sgn(g^-1) =sgn(h)=1
Logo ghg^-1 é par e pertence a A3, mostrando gA3g^-1subseteq A3. O argumento recíproco é análogo, então gA3g^-1=A3.

Resposta

O subgrupo A3 é normal em S3.

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