Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
e) Dado
, o grupo das permutações de 3 elementos, determine se o subgrupo
é normal em
.
e) Dado
Passo 1
O enunciado define o grupo
e o subgrupo
e pede para verificar se
é normal em
. O conteúdo aqui é subgrupos normais, ou seja, testar se vale
ou usar um critério de índice de subgrupo.
Passo 2
Calculamos as ordens:
Portanto o índice é
Há um teorema geral que diz: todo subgrupo de índice
é normal no grupo ambient.
Passo 3
Para ver diretamente pela definição, note que a conjugação preserva o sinal da permutação. De fato, para
e
(permutações pares),
Logo
é par e pertence a
, mostrando
. O argumento recíproco é análogo, então
.
Resposta
O subgrupo
é normal em
.