Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
d) Dado o grupo
, o grupo das simetrias de um quadrado, verifique se o subgrupo gerado por
(rotações de 180 graus) é normal em
.
d) Dado o grupo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subgrupo
é normal em , o grupo diédrico de ordem 8 que podemos apresentar como
é normal em
Para isso usamos a definição de normalidade:
, deve valer
Passo 2
Conjugação por rotações. Seja
com
. Então
Passo 3
Conjugação por reflexões. Qualquer reflexão em
pode ser escrita como
. Então
Como
e
, temos
Passo 4
Todo
é ou uma rotação
ou uma reflexão
, e em ambos os casos vimos que
Logo
é estável por conjugação por qualquer elemento de
, isto é,
é normal em
.
Resposta
O subgrupo
é normal em
.