Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
d) Dado o grupo G=D4, o grupo das simetrias de um quadrado, verifique se o subgrupo gerado por r^2 (rotações de 180 graus) é normal em G.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subgrupo
H=lang<= r^2rang<==e,r^2
é normal em G=D4, o grupo diédrico de ordem 8 que podemos apresentar como
D4=lang<= r,s mid r^4=e,;s^2=e,;srs=r^-1rang<=
Para isso usamos a definição de normalidade: forall gin G, deve valer
g,r^2,g^-1in H

Passo 2

Conjugação por rotações. Seja g=r^k com kin0,1,2,3. Então
r^k,r^2,r^-k=r^k+2-k=r^2in H

Passo 3

Conjugação por reflexões. Qualquer reflexão em D4 pode ser escrita como g=sr^k. Então
(sr^k),r^2,(sr^k)^-1 = s,r^k,r^2,r^-k,s^-1 = s,r^2,s
Como srs=r^-1 e s^2=e, temos
s,r^2,s=(srs)(srs)=r^-1r^-1=r^-2=r^2in H

Passo 4

Todo gin D4 é ou uma rotação r^k ou uma reflexão sr^k, e em ambos os casos vimos que
g,r^2,g^-1=r^2in H
Logo H é estável por conjugação por qualquer elemento de G, isto é, H é normal em D4.

Resposta

O subgrupo lang<= r^2rang<= é normal em D4.

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