Questão 2 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre teorema de Lagrange e classes laterais:
a) Seja G=S3, o grupo das permutações de três elementos. Mostre que S3 não possui subgrupos de ordem 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico de três elementos S3 não admite subgrupos de ordem 4. O conteúdo chave aqui é o Teorema de Lagrange, que usa a ideia de classes laterais (índice de um subgrupo) para relacionar a ordem de um subgrupo à ordem do grupo ambientador.

Passo 2

O grupo S3 tem exatamente seis elementos, ou seja,
lvert S3rvert = 6

Passo 3

O Teorema de Lagrange afirma que, se H é subgrupo de um grupo finito G, então o número de classes laterais (índice) [G : H] é dado por
[G : H] = lvert Grvertlvert Hrvert,
e, em particular, lvert Hrvert divide lvert Grvert.

Passo 4

Suponha, para fins de contradição, que exista H <= S3 com lvert Hrvert = 4. Então o índice seria
[S3:H] = lvert S3rvertlvert Hrvert = 64 = 32,
mas isso não é um número inteiro, o que contraria a definição de índice (deve contar um número inteiro de classes laterais).

Resposta

Não existe subgrupo de ordem 4 em S3, pois 4 não divide 6.

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