Questão 2 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre teorema de Lagrange e classes laterais:
a) Seja
, o grupo das permutações de três elementos. Mostre que
não possui subgrupos de ordem 4.
a) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo simétrico de três elementos
não admite subgrupos de ordem
. O conteúdo chave aqui é o Teorema de Lagrange, que usa a ideia de classes laterais (índice de um subgrupo) para relacionar a ordem de um subgrupo à ordem do grupo ambientador.
Passo 2
O grupo
tem exatamente seis elementos, ou seja,
Passo 3
O Teorema de Lagrange afirma que, se
é subgrupo de um grupo finito
, então o número de classes laterais (índice)
é dado por
e, em particular,
divide
.
Passo 4
Suponha, para fins de contradição, que exista
com
. Então o índice seria
mas isso não é um número inteiro, o que contraria a definição de índice (deve contar um número inteiro de classes laterais).
Resposta
Não existe subgrupo de ordem
em
, pois
não divide
.