Questão 2: (3 pontos)

Sejam os vetores u=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right] em \mathbb{R}^{4}. a) Para qual(quais) valor(es) de k o vetor w=\left[\begin{array}{r}12 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\ k\end{array}\right] é uma combinação linear de u e v ? b) Quais são os coeficientes da combinação linear que resulta em w ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}
e define
w=\begin{pmatrix}12\\\ 4\\\ 0\k\end{pmatrix}.
Pede-se (a) para quais valores de k existe \alpha,\beta tais que w=\alpha u+\beta v e (b) quais são esses coeficientes. O conteúdo usado será sistemas lineares gerados pela combinação linear.

Passo 2

Escrevendo
\alpha u + \beta v = w
obtemos o sistema
\begin{cases} -3\alpha -3\beta = 12,\\\ \alpha -3\beta = 4,\\\\ 2\alpha -2\beta = 0,\\\\ -3\alpha +4\beta = k. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
-3\alpha -3\beta = 12 \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \beta = -4,
\alpha -3\beta = 4.
Subtraindo obtém-se
(\alpha-3\beta)-(\alpha+\beta)=-4\beta=8 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -2,
e então
\alpha = -4 - \beta = -4 -(-2) = -2.

Passo 4

Verificamos a terceira equação para consistência:
2\alpha -2\beta = 2(-2) -2(-2) = -4 +4 = 0,
logo está satisfeita, não impõe nova condição.

Passo 5

Finalmente, da quarta equação surge o valor de k:
k = -3\alpha +4\beta = -3(-2) +4(-2) = 6 -8 = -2.
Portanto, w pertence ao span \{u,v\} somente se k=-2.

Resposta

a) k = -2.
b) Os coeficientes são \alpha = -2 e \beta = -2, ou seja
w = -2\,u \;+\;(-2)\,v.

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