Questão 8: (Valor 1,0 ponto)
Calcule partial zpartial x, sabendo que z=f(x, y) é dada implicitamente pela equação e^x z+tg(y z)=x z^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial zpartial x sabendo que z=f(x,y) está definida implicitamente pela equação e^x z + tg(y z) = x z^2. O conteúdo principal aqui é derivação implícita, então vamos precisar da regra da cadeia e da regra do produto.

Passo 2

Para começar, derivamos ambos os lados da equação em relação a x, mantendo y constante. Assim, escrevemos:
partialpartial xl(e^x z + tg(y z)r) = partialpartial x(x z^2)

Passo 3

Agora aplicamos as regras de derivação:
partialpartial x(e^x z) = e^x z,(z + x,zx),
partialpartial x(tg(y z)) = sec^2(y z)cdot (y,zx),
partialpartial x(x z^2) = z^2 + 2x z,zx, onde usamos a notação zx=partial zpartial x.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na igualdade e organizando, temos:
e^x z(z + x zx) + ysec^2(y z),zx = z^2 + 2x z,zx
Agrupando todos os termos que envolvem zx de um lado e os demais termos do outro, obtemos:
(x,e^x z + ysec^2(y z) - 2x z),zx = z^2 - e^x z,z

Passo 5

Para finalizar, isolamos zx dividindo pelo fator que multiplica zx. Assim chegamos à expressão pedida:

Resposta

partial zpartial x=z^2-e^x z,zx,e^x z+y,sec^2(y z)-2x z

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