Use o teorema de Green para calcular \int_{C} F \cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
F(x, y)=\left\langle y-\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 2 t g^{-1}(y / x)\right\rangle, C é a circunferencia (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1, orientada no sentido anti-horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y)=\bigl\langle y-\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),\,2\arctan\bigl(\tfrac yx\bigr)\bigr\rangle
e C é a circunferência (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y-\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \quad Q(x,y)=2\arctan\bigl(\tfrac yx\bigr).
Antes de aplicar o teorema, verificamos que no disco de centro (2,3) e raio 1 temos x^{2}+y^{2}>0 e x>0, logo P e Q são C^{1} em toda a região interior.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Para Q em função de x, usando u=y/x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u)\bigr] =2\cdot\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac yx\Bigr) =2\cdot\frac{-y/x^{2}}{1+y^{2}/x^{2}} =-\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Para P em função de y:
\frac{\partial P}{\partial y} =1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =1-\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Substituindo em Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} -\Bigl(1-\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-1.
Logo
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}(-1)\,dA =-\bigl(\text{área de }D\bigr) =-\pi\cdot1^{2} =-\pi.á

Resposta

-\pi

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