QUESTÃO 4) (6 pontos) Use a técnica iterativa de Gauss-Seidel para encontrar soluções aproximadas de
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =6 \\\\ -x_{1}+11 x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & =25 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}-x_{4} & =-11 \\\\ 3 x_{2}-x_{3}+8 x_{4} & =15 \end{aligned}\right.
começando \operatorname{com} X^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e iterando até que \frac{\left\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\right\|_{\infty}}{\left\|X^{(k+1)}\right\|_{\infty}}<2 \times 10^{-2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • O sistema linear é
\left\{\begin{aligned} 10x_{1}-x_{2}+2x_{3} &= 6,\\\\ - x_{1}+11x_{2}-x_{3}+3x_{4} &= 25,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+10x_{3}-x_{4} &= -11,\\\\ 3x_{2}-x_{3}+8x_{4} &= 15. \end{aligned}\right.
  • O vetor inicial é \;X^{(0)}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{T}.
  • O critério de parada é
\frac{\left\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\right\|_{\infty}}{\left\|X^{(k+1)}\right\|_{\infty}}<2\times10^{-2}.
O objetivo: aplicar o método iterativo de Gauss–Seidel até satisfazer o critério acima e fornecer a solução aproximada.

Passo 2

Explicando a técnica (passo a passo didático, sem pular etapas):
  • Ideia do Gauss–Seidel: reescrever cada equação isolando uma variável e, na iteração, usar sempre os valores mais recentes já calculados para as variáveis anteriores na sequência. Isso costuma convergir mais rápido que Jacobi porque usa informações atualizadas dentro da mesma iteração.
  • Isolando cada variável do sistema, obtemos as fórmulas de iteração (a cada passo k geramos X^{(k+1)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \frac{6 + x_{2}^{(\cdot)} - 2x_{3}^{(\cdot)}}{10},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} &= \frac{25 + x_{1}^{(k+1)} + x_{3}^{(\cdot)} - 3x_{4}^{(\cdot)}}{11},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)} &= \frac{-11 - 2x_{1}^{(k+1)} + x_{2}^{(k+1)} + x_{4}^{(\cdot)}}{10},\\[4pt] x_{4}^{(k+1)} &= \frac{15 - 3x_{2}^{(k+1)} + x_{3}^{(k+1)}}{8}. \end{aligned}
Observação sobre notação: em cada fórmula, o símbolo ^{(\cdot)} indica que se usa o valor mais recente disponível: se a variável já foi atualizada na iteração corrente, usa-se o valor ^{(k+1)}; caso contrário, usa-se ^{(k)}. No Gauss–Seidel, isso significa que dentro de uma iteração encontramos x_1^{(k+1)}, depois usamos esse valor para calcular x_2^{(k+1)}, e assim por diante.
  • Norma infinita e critério de parada:
\|v\|_{\infty}=\max_{i}|v_i|.
No teste de parada calculamos \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty} (a maior diferença absoluta entre componentes) e \|X^{(k+1)}\|_{\infty} (o maior valor absoluto em X^{(k+1)}). Paramos quando a razão for menor que 2\times10^{-2} (ou seja, 2\% de mudança relativa máxima).
Agora vamos aplicar as fórmulas com os cálculos detalhados.]

Passo 3

Iteração 1 (a partir de X^{(0)}=[0,0,0,0]^{T}):
  • Calcular x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{6 + x_{2}^{(0)} - 2x_{3}^{(0)}}{10}=\frac{6 + 0 - 2\cdot0}{10}=\frac{6}{10}=0,6.
  • Calcular x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{25 + x_{1}^{(1)} + x_{3}^{(0)} - 3x_{4}^{(0)}}{11}=\frac{25 + 0,6 + 0 - 3\cdot0}{11}=\frac{25,6}{11}\approx2,327272727.
  • Calcular x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{-11 -2x_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)} + x_{4}^{(0)}}{10}=\frac{-11 -2\cdot0,6 + 2,327272727 + 0}{10}=\frac{-9,872727273}{10}\approx-0,9872727273.
  • Calcular x_{4}^{(1)} usando x_{2}^{(1)},x_{3}^{(1)}:
x_{4}^{(1)}=\frac{15 - 3x_{2}^{(1)} + x_{3}^{(1)}}{8}=\frac{15 - 3\cdot2,327272727 + (-0,9872727273)}{8}=\frac{7,0309090901}{8}\approx0,8788636363.
Resultado da iteração 1:
X^{(1)}\approx\begin{bmatrix}0,6\\[2pt]2,327272727\\[2pt]-0,9872727273\\[2pt]0,8788636363\end{bmatrix}.]

Passo 4

Iteração 2 (usando X^{(1)}):
  • x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{6 + x_{2}^{(1)} - 2x_{3}^{(1)}}{10} =\frac{6 + 2,327272727 - 2\cdot(-0,9872727273)}{10} =\frac{10,3018181816}{10}=1,03018181816\approx1,030181818.
  • x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{25 + x_{1}^{(2)} + x_{3}^{(1)} - 3x_{4}^{(1)}}{11} =\frac{25 + 1,030181818 -0,9872727273 -3\cdot0,8788636363}{11} =\frac{22,4063181821}{11}\approx2,0369380175.
  • x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{-11 -2x_{1}^{(2)} + x_{2}^{(2)} + x_{4}^{(1)}}{10} =\frac{-11 -2\cdot1,030181818 + 2,0369380175 + 0,8788636363}{10} =\frac{-10,1445619837}{10}\approx-1,0144561984.
  • x_{4}^{(2)}:
x_{4}^{(2)}=\frac{15 - 3x_{2}^{(2)} + x_{3}^{(2)}}{8} =\frac{15 - 3\cdot2,0369380175 + (-1,0144561984)}{8} =\frac{7,8747297501}{8}\approx0,9843412188.
Resultado da iteração 2:
X^{(2)}\approx\begin{bmatrix}1,030181818\\[2pt]2,0369380175\\[2pt]-1,0144561984\\[2pt]0,9843412188\end{bmatrix}.
  • Calcular a diferença e a razão para verificar parada (ainda não é menor que 2\%):
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0,430181818,\;0,2903347095,\;0,0271834711,\;0,1054775825\}=0,430181818.
\|X^{(2)}\|_{\infty}=\max\{1,030181818,\;2,0369380175,\;1,0144561984,\;0,9843412188\}=2,0369380175.
\frac{\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}}{\|X^{(2)}\|_{\infty}}=\frac{0,430181818}{2,0369380175}\approx0,2112\quad(21{,}12\%),
ainda maior que 2\%. Continuamos.]

Passo 5

Iteração 3 (usando X^{(2)}):
  • x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{6 + x_{2}^{(2)} - 2x_{3}^{(2)}}{10} =\frac{6 + 2,0369380175 -2\cdot(-1,0144561984)}{10} =\frac{10,0658504133}{10}=1,00658504133\approx1,006585041.
  • x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)}=\frac{25 + x_{1}^{(3)} + x_{3}^{(2)} - 3x_{4}^{(2)}}{11} =\frac{25 + 1,00658504133 -1,0144561984 -3\cdot0,9843412188}{11} =\frac{22,0391051867}{11}\approx2,0035504715.
  • x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)}=\frac{-11 -2x_{1}^{(3)} + x_{2}^{(3)} + x_{4}^{(2)}}{10} =\frac{-11 -2\cdot1,00658504133 + 2,0035504715 + 0,9843412188}{10} =\frac{-10,0252783921}{10}\approx-1,0025278392.
  • x_{4}^{(3)}:
x_{4}^{(3)}=\frac{15 - 3x_{2}^{(3)} + x_{3}^{(3)}}{8} =\frac{15 - 3\cdot2,0035504715 + (-1,0025278392)}{8} =\frac{7,9868207463}{8}\approx0,9983525933.
Resultado da iteração 3:
X^{(3)}\approx\begin{bmatrix}1,0065850413\\[2pt]2,0035504715\\[2pt]-1,0025278392\\[2pt]0,9983525933\end{bmatrix}.
  • Agora calcular a razão do critério de parada:
Diferença
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,0235967763,\;0,0333875450,\;0,0119283592,\;0,0140113745\}=0,0333875450.
Norma do novo vetor
\|X^{(3)}\|_{\infty}=\max\{1,0065850413,\;2,0035504715,\;1,0025278392,\;0,9983525933\}=2,0035504715.
Razão
\frac{\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}}{\|X^{(3)}\|_{\infty}} =\frac{0,0333875450}{2,0035504715}\approx0,016666\approx1,67\%,
que é menor que 2\%. Logo o critério de parada está satisfeito e podemos aceitar X^{(3)} como solução aproximada.]

Passo 6

Breve comentário final e dica para a prova (resumo didático, motivador):
  • Encontramos a solução aproximada em apenas três iterações porque o método Gauss–Seidel usou valores atualizados dentro de cada iteração. Na prova, siga estes passos: isole cada variável, compute em ordem usando o valor mais recente, e calcule a norma infinita da diferença e a norma infinita do novo vetor para testar o critério relativo.
  • Se pedirem, explique também que a convergência costuma ser garantida quando a matriz é estritamente diagonal dominante ou simétrica positiva definida; aqui a matriz é diagonalmente dominante por linhas (verificar termos principais maiores que soma dos outros na linha) o que ajuda a justificar convergência.
  • Força aí — com calma e prática fazendo umas 2–3 iterações você já consegue ver rápido se converge e qual é o valor aproximado.

Resposta

x_{1}\approx1,0065850413
x_{2}\approx2,0035504715
x_{3}\approx-1,0025278392
x_{4}\approx0,9983525933

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