QUESTÃO 2) (6 pontos) O concreto utilizado em calçadas é uma mistura de cimento portland, de areia e de cascalho. Um distribuidor disponibiliza três lotes para os empreiteiros. O lote 1 contém cimento, areia e cascalho misturados em proporções \frac{1}{8}: \frac{3}{8}: \frac{4}{8}, respectivamente. O lote 2 tem as proporções \frac{2}{10}: \frac{5}{10}: \frac{3}{10} e o lote 3 , \frac{2}{5}: \frac{3}{5}: \frac{0}{5}. Formule um modelo matemático e resolva-o usando o método que julgar conveniente, determinando as quantidades x_{1}, x_{2}, x_{3} a serem usadas de cada lote para formar uma mistura de 10 m^{3}. Suponha que a mistura deva conter 2,3 m^{3}, 4,8 m^{3} e 2,9 m^{3} de cimento portland, areia e cascalho, respectivamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todas as proporções e volumes do enunciado):
Lote 1 tem as proporções \tfrac{1}{8}:\tfrac{3}{8}:\tfrac{4}{8} para cimento, areia e cascalho.
Lote 2 tem as proporções \tfrac{2}{10}:\tfrac{5}{10}:\tfrac{3}{10} para cimento, areia e cascalho.
Lote 3 tem as proporções \tfrac{2}{5}:\tfrac{3}{5}:\tfrac{0}{5} para cimento, areia e cascalho.
Objetivo:
Determinar as quantidades x_{1},x_{2},x_{3} (em m^{3}) a serem usadas de cada lote para formar uma mistura total de 10\\ m^{3}, que deve conter exatamente:
2{,}3\\ m^{3} de cimento portland,
4{,}8\\ m^{3} de areia,
2{,}9\\ m^{3} de cascalho.
O enunciado pede que eu formule um modelo matemático e resolva para x_1,x_2,x_3. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Modelagem: defino as variáveis e escrevo as equações que representam as quantidades de cada componente vindas dos lotes.
Seja x_1 o volume (em m^{3}) do lote 1 usado, x_2 o volume do lote 2 e x_3 o volume do lote 3.
A condição de volume total é
x_{1}+x_{2}+x_{3}=10.
Agora escrevo as equações para cada componente usando as proporções:
Cimento: do lote 1 vem \tfrac{1}{8}x_1, do lote 2 vem \tfrac{2}{10}x_2=\tfrac{1}{5}x_2, do lote 3 vem \tfrac{2}{5}x_3. A soma deve ser 2{,}3:
Observação rápida: como as três quantidades de componentes somam 2{,}3+4{,}8+2{,}9=10, uma das equações (por exemplo a de cascalho) é linearmente dependente das outras duas e da equação total. Ainda assim vou usar um sistema de três equações independentes para resolver (total, cimento e cascalho), porque dá coeficientes simples ao trabalhar.
Passo 3
Escolha do método: vou usar eliminação linear (combinações lineares das equações) porque aqui temos poucas equações e dá para eliminar incógnitas com contas manuais confortáveis. Vou usar as equações referentes ao volume total, ao cimento e ao cascalho, que levam a coeficientes inteiros após multiplicar por escalares adequados.