QUESTÃO 2) (6 pontos) O concreto utilizado em calçadas é uma mistura de cimento portland, de areia e de cascalho. Um distribuidor disponibiliza três lotes para os empreiteiros. O lote 1 contém cimento, areia e cascalho misturados em proporções \frac{1}{8}: \frac{3}{8}: \frac{4}{8}, respectivamente. O lote 2 tem as proporções \frac{2}{10}: \frac{5}{10}: \frac{3}{10} e o lote 3 , \frac{2}{5}: \frac{3}{5}: \frac{0}{5}. Formule um modelo matemático e resolva-o usando o método que julgar conveniente, determinando as quantidades x_{1}, x_{2}, x_{3} a serem usadas de cada lote para formar uma mistura de 10 m^{3}. Suponha que a mistura deva conter 2,3 m^{3}, 4,8 m^{3} e 2,9 m^{3} de cimento portland, areia e cascalho, respectivamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todas as proporções e volumes do enunciado):
  • Lote 1 tem as proporções \tfrac{1}{8}:\tfrac{3}{8}:\tfrac{4}{8} para cimento, areia e cascalho.
  • Lote 2 tem as proporções \tfrac{2}{10}:\tfrac{5}{10}:\tfrac{3}{10} para cimento, areia e cascalho.
  • Lote 3 tem as proporções \tfrac{2}{5}:\tfrac{3}{5}:\tfrac{0}{5} para cimento, areia e cascalho.
Objetivo:
  • Determinar as quantidades x_{1},x_{2},x_{3} (em m^{3}) a serem usadas de cada lote para formar uma mistura total de 10\\ m^{3}, que deve conter exatamente:
    • 2{,}3\\ m^{3} de cimento portland,
    • 4{,}8\\ m^{3} de areia,
    • 2{,}9\\ m^{3} de cascalho.
O enunciado pede que eu formule um modelo matemático e resolva para x_1,x_2,x_3. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Modelagem: defino as variáveis e escrevo as equações que representam as quantidades de cada componente vindas dos lotes.
  • Seja x_1 o volume (em m^{3}) do lote 1 usado, x_2 o volume do lote 2 e x_3 o volume do lote 3.
  • A condição de volume total é
x_{1}+x_{2}+x_{3}=10.
Agora escrevo as equações para cada componente usando as proporções:
  • Cimento: do lote 1 vem \tfrac{1}{8}x_1, do lote 2 vem \tfrac{2}{10}x_2=\tfrac{1}{5}x_2, do lote 3 vem \tfrac{2}{5}x_3. A soma deve ser 2{,}3:
\frac{1}{8}x_{1}+\frac{1}{5}x_{2}+\frac{2}{5}x_{3}=2{,}3.
  • Areia: do lote 1 vem \tfrac{3}{8}x_1, do lote 2 vem \tfrac{5}{10}x_2=\tfrac{1}{2}x_2, do lote 3 vem \tfrac{3}{5}x_3. A soma deve ser 4{,}8:
\frac{3}{8}x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}+\frac{3}{5}x_{3}=4{,}8.
  • Cascalho: do lote 1 vem \tfrac{4}{8}x_1=\tfrac{1}{2}x_1, do lote 2 vem \tfrac{3}{10}x_2, do lote 3 vem 0\cdot x_3. A soma deve ser 2{,}9:
\frac{1}{2}x_{1}+\frac{3}{10}x_{2}+0\cdot x_{3}=2{,}9.
Observação rápida: como as três quantidades de componentes somam 2{,}3+4{,}8+2{,}9=10, uma das equações (por exemplo a de cascalho) é linearmente dependente das outras duas e da equação total. Ainda assim vou usar um sistema de três equações independentes para resolver (total, cimento e cascalho), porque dá coeficientes simples ao trabalhar.

Passo 3

Escolha do método: vou usar eliminação linear (combinações lineares das equações) porque aqui temos poucas equações e dá para eliminar incógnitas com contas manuais confortáveis. Vou usar as equações referentes ao volume total, ao cimento e ao cascalho, que levam a coeficientes inteiros após multiplicar por escalares adequados.
As equações escolhidas são:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=10,\\[4pt] \frac{1}{8}x_{1}+\frac{1}{5}x_{2}+\frac{2}{5}x_{3}=2{,}3,\\[4pt] \frac{1}{2}x_{1}+\frac{3}{10}x_{2}=2{,}9. \end{cases}
Para eliminar frações, multiplico cada equação por um número que torne os coeficientes inteiros:
  • Multiplico a equação do cimento por 40 (múltiplo comum de 8 e 5):
5x_{1}+8x_{2}+16x_{3}=92,
pois 2{,}3\times40=92.
  • Multiplico a equação do cascalho por 10 (para eliminar o denominador 2 e 10):
5x_{1}+3x_{2}=29,
pois 2{,}9\times10=29.
A equação do total já é inteira:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=10.]

Passo 4

Eliminação de x_{1}: subtraio a equação do cascalho (multiplicada por 1) da equação do cimento (já multiplicada por 40) para eliminar 5x_{1}.
As duas equações são
\begin{aligned} &5x_{1}+8x_{2}+16x_{3}=92,\\\ &5x_{1}+3x_{2}+0x_{3}=29. \end{aligned}
Subtraindo a segunda da primeira:
(5x_{1}-5x_{1})+(8x_{2}-3x_{2})+(16x_{3}-0)=92-29,
ou seja
5x_{2}+16x_{3}=63.
Esta é uma equação linear entre x_{2} e x_{3}. Vou chamá-la de (A):
\text{(A)}\quad 5x_{2}+16x_{3}=63.

Passo 5

Outra relação entre x_2 e x_3 vem usando a equação do total e a equação do cascalho. A equação do cascalho (já escrita) é
5x_{1}+3x_{2}=29.
Da equação do total tem-se x_{1}=10-x_{2}-x_{3}. Substituo isso em 5x_{1}+3x_{2}=29:
5(10-x_{2}-x_{3})+3x_{2}=29.
Faço as contas passo a passo:
50-5x_{2}-5x_{3}+3x_{2}=29.
Agrupando x_{2}:
50-2x_{2}-5x_{3}=29.
Passei 50 para o outro lado:
-2x_{2}-5x_{3}=29-50=-21.
Multiplico por -1 para simplificar:
2x_{2}+5x_{3}=21.
Chamo isso de (B):
\text{(B)}\quad 2x_{2}+5x_{3}=21.
Agora tenho o sistema de duas equações em x_{2},x_{3}:
\begin{cases} 5x_{2}+16x_{3}=63\quad\text{(A)},\\[4pt] 2x_{2}+5x_{3}=21\quad\text{(B)}. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema (A)-(B). Uma estratégia é eliminar x_{2}: multiplico (B) por 5 e (A) por 2 para igualar coeficientes de x_{2}:
  • 5\times\text{(B)}: 10x_{2}+25x_{3}=105.
  • 2\times\text{(A)}: 10x_{2}+32x_{3}=126.
Subtraio a primeira da segunda para eliminar x_{2}:
(10x_{2}-10x_{2})+(32x_{3}-25x_{3})=126-105,
ou seja
7x_{3}=21.
Logo
x_{3}=\frac{21}{7}=3.

Passo 7

Com x_{3}=3, volto a (B) para achar x_{2}:
2x_{2}+5\cdot 3=21 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}+15=21.
Subtraindo 15:
2x_{2}=6 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=3.

Passo 8

Com x_{2}=3 e x_{3}=3, uso a equação do total para obter x_{1}:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=10 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+3+3=10,
portanto
x_{1}=10-6=4.

Passo 9

Verificação (substituição nas equações de componentes) — sempre bom checar:
  • Cimento:
\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{5}\cdot 3+\frac{2}{5}\cdot 3 =0{,}5+0{,}6+1{,}2=2{,}3.
  • Areia:
\frac{3}{8}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{3}{5}\cdot 3 =1{,}5+1{,}5+1{,}8=4{,}8.
  • Cascalho:
\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{3}{10}\cdot 3+0\cdot 3 =2{,}0+0{,}9+0=2{,}9.
Tudo confere com os alvos dados. Boa notícia: os volumes são números inteiros simples, o que facilita aplicação na obra.

Resposta

x_{1}=4\\ \mathrm{m}^{3}
x_{2}=3\\ \mathrm{m}^{3}
x_{3}=3\\ \mathrm{m}^{3}

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