QUESTÃO 3) (6 pontos) Considere o sistema de equações lineares A X=B, sendo A=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -4 \\\\ 1 & 4 & -2 \\\\ 4 & 1 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 4 \\\\ 4\end{array}\right].
a) Escreva a igualdade L U=P A, determinando as matrizes L, U e a matriz de permutação P;
b) Resolva o sistema A X=B pelo método de decomposição L U usando a pivotação parcial;
c) Caso possível, resolva o sistema A X=B pelo método da decomposição de Cholesky. Caso contrário, justifique sua resposta.
(a) Escrever a igualdade L U = P A, determinando as matrizes L, U e a matriz de permutação P.
(b) Resolver A X = B usando a decomposição L U com pivotação parcial.
(c) Verificar se é possível resolver por Cholesky; se não, justificar.
Listei claramente os dados e o que se pede. Agora vamos passo a passo montar a fatoração com pivotação parcial, resolver o sistema e responder sobre Cholesky.]
Passo 2
O que é a fatoração com pivotação parcial e quais fórmulas vou usar (aula rápida, bem mastigada).
Pivotação parcial: em cada coluna k escolhe-se, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha cujo elemento da coluna k tem maior valor absoluto. Se essa linha não for a linha k, faz-se uma permutação (troca de linhas). As permutações acumuladas são guardadas numa matriz de permutação P. Após aplicar as permutações P ao sistema, faz-se eliminação sem trocar mais linhas nessa coluna.
Representação: com pivotação parcial sempre é possível escrever
L\,U = P\,A,
onde P é a matriz de permutação (matriz obtida por permutar linhas da identidade), L é triangular inferior com 1s na diagonal e entradas l_{ij}=m_{ij} (os multiplicadores da eliminação), e U é triangular superior.
Como calcular os multiplicadores: no passo de eliminação da coluna k, para cada linha i>k calcula-se
m_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}},
onde a_{ik}^{(k)} é o elemento da matriz atual na iteração k. Em notação prática, subtrai-se m_{ik} vezes a linha k da linha i.
Depois de obter L e U (com a ordem das linhas dada por P), para resolver A X=B fazemos:
formar P B (aplicar a mesma permutação ao vetor B);
resolver L Y = P B por substituição direta (forward substitution);
resolver U X = Y por retro-substituição (back substitution).
Agora aplico isso concretamente.
Passo 3
Primeiro pivot (coluna 1). Olho os valores absolutos da coluna 1 de A: |3|,|1|,|4|. O maior é |4| na linha 3. Então troco a linha 1 com a linha 3. Isso gera a matriz de permutação P que troca 1↔3.
A matriz P que faz essa troca (linha 1 ← linha 3, linha 2 fixa, linha 3 ← linha 1) é
Os multiplicadores obtidos (primeira coluna) são m_{21}=\tfrac{1}{4} e m_{31}=\tfrac{3}{4}; eles serão entradas de L abaixo da diagonal na coluna 1.]
Passo 5
Segundo passo de eliminação (coluna 2). O pivot candidato é o elemento na posição (2,2), que vale \tfrac{15}{4}. Comparo |\tfrac{15}{4}| com o elemento da linha 3 na mesma coluna |\tfrac{5}{4}|. O maior é \tfrac{15}{4} (linha 2), então NÃO preciso trocar linhas nesta coluna.
Agora calculo o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
Verificação rápida (conceitual): por construção a eliminação com os multiplicadores acima garante L U = P A.]
Passo 7
Agora resolvo o sistema [A X = B) usando L U = P A.
Multiplico o lado direito por P: L U X = P B. Primeiro calcule P B.
P B = \begin{bmatrix}0&0&1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]1&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}6\\[4pt]4\\[4pt]4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\[4pt]4\\[4pt]6\end{bmatrix}.
Chamando Y o vetor intermediário tal que L Y = P B, resolvo por substituição direta (forward substitution).
Sobre a decomposição de Cholesky (parte (c)) — explicação e verificação.
A decomposição de Cholesky só existe para matrizes simétricas e definidas positivas. Isso significa que, além de a matriz ser quadrada, ela deve satisfazer A=A^{T} e x^{T}A x>0 para todo x\neq 0.
Verifico rapidamente a simetria de A. Em A o elemento a_{13}=-4 e a_{31}=4. Como a_{13}\neq a_{31}, concluímos que A NÃO é simétrica. Logo, a fatoração de Cholesky NÃO é aplicável a A.
Portanto não é possível resolver por Cholesky; a razão principal é que A não é simétrica (portanto não pode ser simétrica definida positiva).