Questão 3: Um processo industrial produz canos com diâmetro de 2" e desvio padrão de 0,01 ". Os canos com diâmetros que variem de mais de 0,03 " a contar da média são considerados defeituosos. Suponha normalidade:
a) Qual a percentagem de canos defeituosos?
b) Qual a probabilidade de encontrar duas peças defeituosas em seqüência?
c) Qual a probabilidade de encontrar duas peças perfeitas em seqüência?

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro X dos canos segue uma normal com média \mu=2{,}0\,\text{''} e desvio padrão \sigma=0{,}01\,\text{''}. Chama-se “defeituoso” todo cano cuja medida se afasta da média em mais de 0{,}03\,\text{''}, ou seja, \lvert X-\mu\rvert>0{,}03. Para resolver a) usamos propriedades da distribuição normal padrão; para b) e c) usamos independência de peças sucessivas e elevamos à potência 2 as probabilidades individuais.

Passo 2

Para calcular a proporção de defeituosos, escrevemos
P(\lvert X-2\rvert>0{,}03) = P\bigl(X>2{,}03\bigr)+P\bigl(X<1{,}97\bigr).
Padronizando com Z=\frac{X-\mu}{\sigma}, temos a distância
\frac{0{,}03}{0{,}01}=3,
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P(\lvert X-2\rvert>0{,}03) =2\,P\bigl(Z>3\bigr).

Passo 3

Consultando tabela da normal padrão,
P(Z>3)\approx0{,}00135.
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P(\text{defeituoso}) =2\times0{,}00135 =0{,}00270 \approx0{,}27\%.

Passo 4

Como as peças são independentes, a probabilidade de duas defeituosas em sequência é
\bigl[P(\text{defeituoso})\bigr]^2 =(0{,}00270)^2 \approx7{,}29\times10^{-6},
ou seja, cerca de 0{,}000729\%.

Passo 5

A probabilidade de uma peça ser perfeita é
P(\text{perfeita}) =1 - 0{,}00270 =0{,}99730 \approx99{,}73\%.
Então duas perfeitas em sequência ocorrem com probabilidade
(0{,}99730)^2 \approx0{,}99461 \approx99{,}46\%.

Resposta

(a) 0{,}27\%
(b) 7{,}29\times10^{-6} (aprox. 0{,}000729\%)
(c) 0{,}99461 (aprox. 99{,}46\%)

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