Questão 2: Sabe-se que a vida de lâmpadas elétricas tem distribuição aproximadamente exponencial, com vida média de 1000 horas. Determine a percentagem das lâmpadas que queimarão antes de 500 horas

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil das lâmpadas segue uma distribuição exponencial com vida média de 1000 horas e pede a percentagem que queima antes de 500 horas. Aqui vamos usar propriedades da distribuição exponencial, em particular a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Para uma variável aleatória X com distribuição exponencial temos a relação entre a média e a taxa \lambda:
\text{média} = \frac{1}{\lambda}é
Logo, como a média é 1000 horas,
\lambda = \frac{1}{1000}\\ (\text{horas}^{-1}).

Passo 3

A função de distribuição acumulada (FDA) de X é
F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}.
Queremos P(X < 500), ou seja,
F(500) = 1 - e^{-\lambda \cdot 500}.

Passo 4

Substituindo \lambda = 1/1000,
F(500) = 1 - e^{-\frac{1}{1000}\cdot 500} = 1 - e^{-0,5}.
Sabendo que e^{-0,5}\approx 0,60653, temos
F(500) \approx 1 - 0,60653 = 0,39347.

Passo 5

Convertendo para percentagem:
0,39347 \approx 39,35\%.
Portanto, cerca de 39{,}35\% das lâmpadas queimarão antes de 500 horas.

Resposta

\approx 39,35\%

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