Questão 2: Sabe-se que a vida de lâmpadas elétricas tem distribuição aproximadamente exponencial, com vida média de 1000 horas. Determine a percentagem das lâmpadas que queimarão antes de 2000 horas

Passo 1

O enunciado informa que o tempo de vida T de uma lâmpada segue uma distribuição exponencial com vida média \mu=1000 horas, e pede a percentagem que queimará antes de 2000 horas. Para isso vamos usar a definição da distribuição exponencial e sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Numa distribuição exponencial com parâmetro \lambda, a média é
\mu = \frac{1}{\lambda}
e a função de distribuição acumulada é
F(t) = P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}.

Passo 3

Como a média é \mu=1000 horas, temos
\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1000}\,\text{h}^{-1}.

Passo 4

A probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 2000 horas é
P(T < 2000) = F(2000) = 1 - e^{-\lambda \cdot 2000} = 1 - e^{-\tfrac{2000}{1000}} = 1 - e^{-2}.

Passo 5

Numericamente,
e^{-2} \approx 0,1353
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P(T<2000) \approx 1 - 0,1353 = 0,8647,
isto é, cerca de 86,47 %.

Resposta

Aproximadamente 86,47\% das lâmpadas queimarão antes de 2000 horas.

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