Questão 6. Uma projeção ortogonal em E é um operador P \in L(E) tal que P=P^{2}=P^{*}.
Prove que são equivalentes:
(1) P é projeção ortogonal;
(2) $\operatorname{ker}(P-I)^{\perp}=\operatorname{ker}§

Passo 1

O enunciado fala de um operador P\in L(E) que satisfaz P^2=P (é projeção) e quer mostrar que ele é ortogonal (isto é, P=P^*) se, e só se,
\ker(P-I)^{\perp}=\ker(P).
Aqui usaremos que, para toda projeção P, vale
\ker(P-I)=\Im(P),
e em seguida mostraremos as duas implicações:
(1) \Rightarrow(2) e (2) \Rightarrow(1).

Passo 2

Mostramos primeiro que, para P^2=P,
\ker(P-I)=\{\,x:P x=x\}=\Im(P).
De fato, se y\in\Im(P) então y=P(x) para algum x, e
P(y)=P^2(x)=P(x)=y,
logo y\in\ker(P-I). Reciprocamente, se y\in\ker(P-I) então P(y)=y, isto é, y=P(y)\in\Im(P).

Passo 3

Provar (1) \Rightarrow(2).
Suponha P=P^* e P^2=P. Então para todo u\in\Im(P) e v\in\ker(P) temos
\langle u,v\rangle =\langle P(x),v\rangle =\langle x,P^*(v)\rangle =\langle x,P(v)\rangle =\langle x,0\rangle =0.
Isto mostra \Im(P)\perp\ker(P). Como já vimos \Im(P)=\ker(P-I), segue
\ker(P-I)^{\perp}=\ker(P).

Passo 4

Provar (2) \Rightarrow(1).
Suponha \ker(P-I)^{\perp}=\ker(P). Então
E=\ker(P-I)\oplus\ker(P)
(com soma direta ortogonal). Dado x\in E, escreva
x=u+v,\quad u\in\ker(P-I),\;v\in\ker(P).
Então
P(x)=P(u+v)=P(u)+P(v)=u+0=u.
De modo análogo, se y=u'+v' com u'\in\ker(P-I), v'\in\ker(P), então P(y)=u'. Agora, usando a ortogonalidade u\perp v' e v\perp u', temos
\langle P(x),y\rangle =\langle u,u'+v'\rangle =\langle u,u'\rangle, \quad \langle x,P(y)\rangle =\langle u+v,u'\rangle =\langle u,u'\rangle.
Logo
\langle P(x),y\rangle=\langle x,P(y)\rangle \quad\forall\,x,y\in E,
o que implica P=P^*.

Resposta

As duas condições são equivalentes:
(1) P é projeção ortogonal ( P^2=P=P^*);
(2) \ker(P-I)^{\perp}=\ker(P).

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