Questão 6. Uma projeção ortogonal em
é um operador
tal que
.
Prove que são equivalentes:
(1)
é projeção ortogonal;
(2) $\operatorname{ker}(P-I)^{\perp}=\operatorname{ker}§
Prove que são equivalentes:
(1)
(2) $\operatorname{ker}(P-I)^{\perp}=\operatorname{ker}§
Passo 1
O enunciado fala de um operador
que satisfaz
(é projeção) e quer mostrar que ele é ortogonal (isto é,
) se, e só se,
Aqui usaremos que, para toda projeção
, vale
e em seguida mostraremos as duas implicações:
(1) (2) e (2)
(1).
(1)
Passo 2
Mostramos primeiro que, para
,
De fato, se
então
para algum
, e
logo
. Reciprocamente, se
então
, isto é,
.
Passo 3
Provar (1)
(2).
Suponha e
. Então para todo
e
temos
Suponha
Isto mostra
. Como já vimos
, segue
Passo 4
Provar (2)
(1).
Suponha . Então
Suponha
(com soma direta ortogonal). Dado
, escreva
Então
De modo análogo, se
com
,
, então
. Agora, usando a ortogonalidade
e
, temos
Logo
o que implica
.
Resposta
As duas condições são equivalentes:
(1) é projeção ortogonal (
);
(2) .
(1)
(2)