Questão 5. Prove que se X é um operador diagonalizável, então existe um produto interno em E que faz com que X seja auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado pede que, dado um operador linear X\colon E\to E em um espaço vetorial de dimensão finita que seja diagonalizável, mostremos que existe um produto interno em E que torna X auto-adjunto.
Conteúdo: teoria de autovalores e autovetores, definição de auto-adjunto em função de um produto interno.
Passo 2
“Diagonalizável” significa que existe uma base \{v_1,\dots,v_n\} de E formada por autovetores de X. Escrevendo
X v_i = \lambda_i\,v_i,
os \lambda_i são os autovalores de X. Assumimos que estamos num corpo (real ou complexo) de modo que todos \lambda_i sejam reais; caso contrário não seria possível ter X auto-adjunto (pois autovalores de auto-adjunto são reais).
Passo 3
Vamos definir um novo produto interno em E fazendo com que a base de autovetores seja ortonormal. Se um vetor u\in E se escreve
Por linearidade isso se estende a todos u,w, logo X é auto-adjunto nesse produto interno.
Resposta
Definindo o produto interno que torna ortonormal a base de autovetores de X, a matriz de X fica diagonal real e satisfaz \langle X u,w\rangle=\langle u,X w\rangle, isto é, X é auto-adjunto.