Questão 5. Prove que se X é um operador diagonalizável, então existe um produto interno em E que faz com que X seja auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado pede que, dado um operador linear X\colon E\to E em um espaço vetorial de dimensão finita que seja diagonalizável, mostremos que existe um produto interno em E que torna X auto-adjunto.
Conteúdo: teoria de autovalores e autovetores, definição de auto-adjunto em função de um produto interno.

Passo 2

“Diagonalizável” significa que existe uma base \{v_1,\dots,v_n\} de E formada por autovetores de X. Escrevendo
X v_i = \lambda_i\,v_i,
os \lambda_i são os autovalores de X. Assumimos que estamos num corpo (real ou complexo) de modo que todos \lambda_i sejam reais; caso contrário não seria possível ter X auto-adjunto (pois autovalores de auto-adjunto são reais).

Passo 3

Vamos definir um novo produto interno em E fazendo com que a base de autovetores seja ortonormal. Se um vetor u\in E se escreve
u = \sum_{i=1}^n a_i\,v_i,
e outro w\in E é
w = \sum_{i=1}^n b_i\,v_i,
definimos
\langle u,w\rangle \;=\;\sum_{i=1}^n \overline{a_i}\,b_i.
Aqui, em caso real, basta a_i b_i; em caso complexo, \overline{a_i} é o conjugado de a_i. Por construção, temos
\langle v_i,v_j\rangle = \delta_{ij} \quad\text{(ortonormalidade).}

Passo 4

Agora verificamos a condição de auto-adjunção: para todo par u,w\in E deve valer
\langle X u,\,w\rangle \;=\;\langle u,\,X w\rangle.
Basta checar na base. Se u=v_i e w=v_j, então
\langle Xv_i,v_j\rangle =\langle \lambda_i v_i,v_j\rangle =\lambda_i\,\langle v_i,v_j\rangle =\lambda_i\,\delta_{ij},
e
\langle v_i,Xv_j\rangle =\langle v_i,\lambda_j v_j\rangle =\overline{\lambda_j}\,\langle v_i,v_j\rangle =\overline{\lambda_j}\,\delta_{ij}.
Como \lambda_i\in\mathbb{R}, \lambda_i=\overline{\lambda_i}, segue
\langle Xv_i,v_j\rangle =\langle v_i,Xv_j\rangle \quad\forall\,i,j.
Por linearidade isso se estende a todos u,w, logo X é auto-adjunto nesse produto interno.

Resposta

Definindo o produto interno que torna ortonormal a base de autovetores de X, a matriz de X fica diagonal real e satisfaz
\langle X u,w\rangle=\langle u,X w\rangle, isto é, X é auto-adjunto.

Exercícios relacionados