Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 9. Fixe um inteiro positivo n que não seja múltiplo de \operatorname{char}(\mathbb{F}) (logo n \neq 0 \mathrm{em} \mathbb{F} ) e considere o espaço vetorial \mathbb{F}^{n \times n} das matrizes de ordem n \times n. O traço é o funcional linear dado por
Prove que tr é o único funcional linear sobre \mathbb{F}^{n \times n} com as seguintes propriedades:
(a) f(A B)=f(B A) para todas A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}.
(b) f(I)=n, em que I é a matriz identidade n \times n.
[Dica: Considere as matrizes E_{i j}, que têm 1 na entrada (i, j) e 0 nas outras. mostre que E_{i j} E_{p q}=E_{i q} se j=p e 0 caso contrário. Utilize o fato de que essas matrizes formam uma base para \mathbb{F}^{n \times n} e calcule qualquer funcional com as propriedades acima nessas matrizes.]
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial \mathbb{F}^{n\times n} e um funcional linear
f:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}
que satisfaz (a)f(AB)=f(BA) para todos A,B, (b)f(I)=n.
Vamos mostrar que necessariamente f(A)=\operatorname{tr}(A). Para isso, exprimimos f na base \{E_{ij}\}, onde E_{ij} tem 1 na entrada (i,j) e 0 nas demais.
Passo 2
Defina
\alpha_{ij}=f(E_{ij}).
Pela propriedade (a), para quaisquer i,j,p,q temos
f(E_{ij}E_{pq})=f(E_{pq}E_{ij}).
Como E_{ij}E_{pq}=\delta_{jp}E_{iq} e E_{pq}E_{ij}=\delta_{qi}E_{pj}, obtemos