Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 9. Fixe um inteiro positivo n que não seja múltiplo de \operatorname{char}(\mathbb{F}) (logo n \neq 0 \mathrm{em} \mathbb{F} ) e considere o espaço vetorial \mathbb{F}^{n \times n} das matrizes de ordem n \times n. O traço é o funcional linear dado por
\operatorname{tr}: \mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}, \quad \operatorname{tr}\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & \end{array}\right]=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}
Prove que tr é o único funcional linear sobre \mathbb{F}^{n \times n} com as seguintes propriedades:
(a) f(A B)=f(B A) para todas A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}.
(b) f(I)=n, em que I é a matriz identidade n \times n.
[Dica: Considere as matrizes E_{i j}, que têm 1 na entrada (i, j) e 0 nas outras. mostre que E_{i j} E_{p q}=E_{i q} se j=p e 0 caso contrário. Utilize o fato de que essas matrizes formam uma base para \mathbb{F}^{n \times n} e calcule qualquer funcional com as propriedades acima nessas matrizes.]

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathbb{F}^{n\times n} e um funcional linear
f:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}
que satisfaz
(a) f(AB)=f(BA) para todos A,B,
(b) f(I)=n.
Vamos mostrar que necessariamente f(A)=\operatorname{tr}(A). Para isso, exprimimos f na base \{E_{ij}\}, onde E_{ij} tem 1 na entrada (i,j) e 0 nas demais.

Passo 2

Defina
\alpha_{ij}=f(E_{ij}).
Pela propriedade (a), para quaisquer i,j,p,q temos
f(E_{ij}E_{pq})=f(E_{pq}E_{ij}).
Como E_{ij}E_{pq}=\delta_{jp}E_{iq} e E_{pq}E_{ij}=\delta_{qi}E_{pj}, obtemos
\delta_{jp}\,\alpha_{iq} \;=\;\delta_{qi}\,\alpha_{pj}.

Passo 3

Escolhendo p=j e q\neq i a igualdade vira
\alpha_{iq}=0\quad(\text{para }q\neq i).
Isto mostra que \alpha_{ij}=0 sempre que i\neq j.

Passo 4

Escolhendo p=j e q=i na relação do passo anterior, fica
\alpha_{ii}=\alpha_{jj} \quad\text{para todo }i,j,
logo todos os \alpha_{ii} são iguais. Denote esse valor comum por c.

Passo 5

Usando (b),
f(I)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{ii}=nc=n
logo c=1. Portanto
\alpha_{ij}= \begin{cases} 1,&i=j,\\\\ 0,&i\neq j. \end{cases}

Passo 6

Qualquer A=(a_{ij}) escreve-se A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij} e, pela linearidade,
f(A)=\sum_{i,j}a_{ij}\,\alpha_{ij} =\sum_{i}a_{ii} =\operatorname{tr}(A).
Assim f=\operatorname{tr} e não há outro funcional com as propriedades dadas.

Resposta

O único funcional linear satisfazendo (a) e (b) é \operatorname{tr}.

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