Use a definição de limites para provar que
nn+3 1.

Passo 1

Resumindo: temos a sequência l(anr) dada por
an = nn+3
e queremos provar que
limntoinftyan = 1
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência: mostrar que, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N, vale
gl|nn+3-1gr|<varepsilon

Passo 2

Calculamos a diferença em forma simples:
gl|nn+3-1gr| = gl|n-(n+3)n+3gr| = gl|-3n+3gr| = 3n+3

Passo 3

Como para todo n>=1 temos n+3>n, segue
3n+3 ;<;3n

Passo 4

Dado varepsilon>0, queremos garantir tfrac3n<varepsilon. Basta escolher N satisfazendo
N ;>=;3varepsilon
Por exemplo,
N ;=;llceiltfrac3varepsilonrrceil
Então, se n>= N, temos
gl|nn+3-1gr| <=3n <=3N <varepsilon

Passo 5

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N, l|an-1r|<varepsilon. Logo, pela definição de limite,
limntoinftynn+3=1

Resposta

Concluímos que ltfracnn+3r1.

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