Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 8. Suponha que
e que
. Sejam
vetores não-nulos de
. Prove que existe um funcional linear
sobre
tal que
[Dica: Prove a contra-positiva: Suponha que todo funcional linear
sobre
se anula em algum
. Utilize o princípio da evasão (lista 3 ) nos aniquiladores de
para concluir que algum
.]
(\mathbb{F}).
Questão 8. Suponha que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
de dimensão finita sobre um corpo
de característica zero, dados vetores não-nulos
, existe um funcional linear
tal que
para todo
. O conteúdo principal envolve o espaço dual
e o Princípio da Evasão (que diz que um espaço vetorial sobre campo infinito não é união finita de subespaços próprios).
Passo 2
Em vez de construir
diretamente, vamos provar a contra-positiva:
“Se não existe funcional com
para todo
, então algum
.”
Supor que todo se anula em pelo menos um dos
. Isso significa
“Se não existe funcional
Supor que todo
Passo 3
Note que
implica que
é infinito. Logo, pelo Princípio da Evasão, nenhum espaço vetorial de dimensão finita sobre corpo infinito pode ser união de número finito de subespaços próprios.
Passo 4
Para cada
, defina o aniquilador
Como
, existe algum funcional
com
. Portanto
é subespaço próprio de
.
Passo 5
Pela suposição inicial temos
Mas isso contradiz o Princípio da Evasão, a menos que algum
. Se
, então todo
satisfaz
, o que só é possível se
(pois o dual separa pontos de
).
Passo 6
Concluímos que, se nenhum
fosse zero, não poderia valer
. Portanto a hipótese “todo
se anula em algum
” leva a
para algum
. Isso é exatamente a contra-positiva do que queremos provar.
Resposta
Logo, existe funcional linear
tal que
para todo
.