Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 8. Suponha que \operatorname{char}(\mathbb{F})=0 e que \operatorname{dim}(\mathbb{V})<\infty. Sejam v_{1}, \ldots, v_{m} vetores não-nulos de \mathbb{V}. Prove que existe um funcional linear f sobre \mathbb{V} tal que
f\left(v_{i}\right) \neq 0 \quad \text { para todo } i .
[Dica: Prove a contra-positiva: Suponha que todo funcional linear f sobre \mathbb{V} se anula em algum v_{i}. Utilize o princípio da evasão (lista 3 ) nos aniquiladores de v_{1}, \ldots, v_{m} para concluir que algum v_{i}=0.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial \mathbb{V} de dimensão finita sobre um corpo \mathbb{F} de característica zero, dados vetores não-nulos v_{1},\dots,v_{m}, existe um funcional linear
f\colon \mathbb{V}\to\mathbb{F}
tal que f(v_{i})\neq 0 para todo i. O conteúdo principal envolve o espaço dual \mathbb{V}^* e o Princípio da Evasão (que diz que um espaço vetorial sobre campo infinito não é união finita de subespaços próprios).

Passo 2

Em vez de construir f diretamente, vamos provar a contra-positiva:
“Se não existe funcional f com f(v_{i})\neq 0 para todo i, então algum v_{i}=0.”
Supor que todo f\in \mathbb{V}^* se anula em pelo menos um dos v_{i}. Isso significa
\mathbb{V}^* \;=\;\bigcup_{i=1}^{m} \{\,f\in\mathbb{V}^*\mid f(v_{i})=0\}.

Passo 3

Note que \mathrm{char}(\mathbb{F})=0 implica que \mathbb{F} é infinito. Logo, pelo Princípio da Evasão, nenhum espaço vetorial de dimensão finita sobre corpo infinito pode ser união de número finito de subespaços próprios.

Passo 4

Para cada i, defina o aniquilador
W_{i} \;=\;\{\,f\in\mathbb{V}^*\mid f(v_{i})=0\}.
Como v_{i}\neq 0, existe algum funcional g\in\mathbb{V}^* com g(v_{i})\neq 0. Portanto W_{i} é subespaço próprio de \mathbb{V}^*.

Passo 5

Pela suposição inicial temos
\mathbb{V}^* = \bigcup_{i=1}^{m} W_{i}.
Mas isso contradiz o Princípio da Evasão, a menos que algum W_{i}=\mathbb{V}^*. Se W_{i}=\mathbb{V}^*, então todo f\in\mathbb{V}^* satisfaz f(v_{i})=0, o que só é possível se v_{i}=0 (pois o dual separa pontos de \mathbb{V}).

Passo 6

Concluímos que, se nenhum v_{i} fosse zero, não poderia valer \mathbb{V}^*=\bigcup W_{i}. Portanto a hipótese “todo f se anula em algum v_{i}” leva a v_{i}=0 para algum i. Isso é exatamente a contra-positiva do que queremos provar.

Resposta

Logo, existe funcional linear f\colon\mathbb{V}\to\mathbb{F} tal que f(v_{i})\neq 0 para todo i=1,\dots,m.

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