QUESTÃO 6. (1,5 pto) Calcular o valor de de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores seja igual a 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de maneira que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 1. Para isso, vamos usar a teoria do produto vetorial e o determinante de uma matriz, que nos ajuda a calcular o volume de um paralelepípedo a partir de três vetores.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Então, precisamos calcular o produto vetorial e depois fazer o produto escalar com .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que:
w = ximath + 2jmath - 3k = x 2 -3
O produto vetorial é dado por:
v times w = imath & jmath & k 1 & -1 & 0 x & 2 & -3
Calculando o determinante:
v times w = imath((-1)(-3) - (0)(2)) - jmath((1)(-3) - (0)(x)) + k((1)(2) - (-1)(x))
= imath(3 - 0) - jmath(-3 - 0) + k(2 + x)
= 3imath + 3jmath + (2 + x)k
Passo 4
Agora, vamos fazer o produto escalar de u com v times w . Temos:
u = imath - jmath + k = 1 -1 1
v times w = 3 3 2 + x
O produto escalar é:
u cdot (v times w) = (1)(3) + (-1)(3) + (1)(2 + x)
= 3 - 3 + 2 + x
= 2 + x
Passo 5
Sabemos que o volume V deve ser igual a 1, então:
|2 + x| = 1
Para resolver essa equação, consideramos duas situações:
2 + x = 1
2 + x = -1
Resolvendo a primeira:
2 + x = 1 implies x = 1 - 2 implies x = -1
Resolvendo a segunda:
2 + x = -1 implies x = -1 - 2 implies x = -3
Resposta
O valor de x pode ser -1 ou -3 para que o volume do paralelepípedo seja igual a 1.