QUESTÃO 4. (1,5 pto)
Encontrar o vetor m ortogonal aos vetores u=(3,2,-2) e v=(-1,-3,-4), de módulo igual a 6 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor m que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores u = (3, 2, -2) e v = (-1, -3, -4). Além disso, esse vetor m precisa ter módulo igual a 6. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados. Também vamos usar a fórmula para calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial u times v é dado por:
u times v = i & j & k 3 & 2 & -2 -1 & -3 & -4
Calculando o determinante:
u times v = (2 times (-4) - (-2) times (-3))i - (3 times (-4) - (-2) times (-1))j + (3 times (-3) - 2 times (-1))k
Simplificando:
u times v = (-8 - 6)i - (-12 - 2)j + (-9 + 2)k = (-14)i + 14j -7k = (-14, 14, -7)

Passo 3

Agora, temos que o vetor m deve ser um múltiplo do vetor resultante do produto vetorial, ou seja, m = k cdot (-14, 14, -7). Precisamos encontrar o valor de k tal que o módulo de m seja 6.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor (-14, 14, -7):
| u times v | = raiz(-14)^2 + 14^2 + (-7)^2 = raiz196 + 196 + 49 = raiz441 = 21

Passo 4

Sabemos que | m | = 6 e m = k cdot (-14, 14, -7). Então:
| m | = |k| cdot | u times v | = |k| cdot 21 = 6
Resolvendo para k:
|k| = 621 = 27
Então, k = 27 ou k = -27. Mas como só precisamos de um vetor, podemos escolher k = 27.

Resposta

O vetor m que é ortogonal a u e v e tem módulo igual a 6 é:
m = ( -287, 287, -147 ) = (-4, 4, -2)

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