QUESTÃO 4. (1,5 pto)
Encontrar o vetor ortogonal aos vetores e , de módulo igual a 6 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores e . Além disso, esse vetor precisa ter módulo igual a 6. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados. Também vamos usar a fórmula para calcular o módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
u times v = (2 times (-4) - (-2) times (-3))i - (3 times (-4) - (-2) times (-1))j + (3 times (-3) - 2 times (-1))k
Simplificando:
u times v = (-8 - 6)i - (-12 - 2)j + (-9 + 2)k = (-14)i + 14j -7k = (-14, 14, -7)
Passo 3
Agora, temos que o vetor m deve ser um múltiplo do vetor resultante do produto vetorial, ou seja, m = k cdot (-14, 14, -7). Precisamos encontrar o valor de k tal que o módulo de m seja 6.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor (-14, 14, -7):
| u times v | = raiz(-14)^2 + 14^2 + (-7)^2 = raiz196 + 196 + 49 = raiz441 = 21
Passo 4
Sabemos que | m | = 6 e m = k cdot (-14, 14, -7). Então:
| m | = |k| cdot | u times v | = |k| cdot 21 = 6
Resolvendo para k:
|k| = 621 = 27
Então, k = 27 ou k = -27. Mas como só precisamos de um vetor, podemos escolher k = 27.
Resposta
O vetor m que é ortogonal a u e v e tem módulo igual a 6 é: