QUESTÃO 3. (1,5 pto)
Se w=(k, k, k) é um vetor unitário, determinar k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos o vetor w = (k, k, k) e sabemos que ele é um vetor unitário. Isso significa que o comprimento (ou magnitude) desse vetor é igual a 1. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude de um vetor no espaço tridimensional. Se temos um vetor v = (x, y, z), a magnitude é dada por:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Isso basicamente soma os quadrados das componentes e tira a raiz quadrada desse total.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor w = (k, k, k), temos:
|w| = raizk^2 + k^2 + k^2 = raiz3k^2

Passo 4

Sabemos que o vetor w é unitário, ou seja, sua magnitude é 1. Então, podemos igualar a expressão que encontramos a 1:
raiz3k^2 = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver para k. Primeiro, simplificamos a raiz quadrada:
raiz3k^2 = raiz3 cdot |k|
Então, temos:
raiz3 cdot |k| = 1 |k| = 1raiz3
Como estamos lidando com magnitudes, consideramos apenas o valor positivo de k. Portanto:
k = 1raiz3

Resposta

k = 1raiz3

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