QUESTÃO 1. (3,0 ptos) Sejam os seguintes vetores: u=(1,3,1) e v=(-1,-1,0). Determine:
O produto misto (u, v, jmath)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores: u = (1, 3, 1) e v = (-1, -1, 0). O que a questão pede é para a gente encontrar o produto misto desses vetores com o vetor unitário jmath. O produto misto é uma operação que combina três vetores e nos dá um número que pode ser útil para entender coisas como o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto misto de três vetores a, b e c é dado por:
(a, b, c) = a cdot (b times c)
Ou seja, a gente faz o produto vetorial de b e c e depois faz o produto escalar desse resultado com a.

Passo 3

No nosso caso, temos a = u = (1, 3, 1), b = v = (-1, -1, 0) e c = jmath = (0, 1, 0). Vamos primeiro calcular o produto vetorial v times jmath.

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores (v1, v2, v3) e (j1, j2, j3) é dado por:
v times jmath = (v2 cdot j3 - v3 cdot j2, , v3 cdot j1 - v1 cdot j3, , v1 cdot j2 - v2 cdot j1)
Vamos aplicar isso com nossos valores:
v = (-1, -1, 0) e jmath = (0, 1, 0)
Então:
v times jmath = (-1 cdot 0 - 0 cdot 1, , 0 cdot 0 - (-1) cdot 0, , (-1) cdot 1 - (-1) cdot 0) = (0, 0, -1)

Passo 5

Agora que temos v times jmath = (0, 0, -1), vamos fazer o produto escalar com u = (1, 3, 1). O produto escalar de dois vetores (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3) é:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso:
u cdot (v times jmath) = 1 cdot 0 + 3 cdot 0 + 1 cdot (-1) = 0 + 0 - 1 = -1

Resposta

O produto misto (u, v, jmath) é igual a -1.

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