Questão 5. ( 1,5 ptos.) Calcule \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrida em sentido anti-horário.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular \displaystyle \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds, onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrido em sentido anti-horário.
  • Informação importante: o percurso C é a borda do triângulo, orientada anti-horário, portanto a ordem dos vértices ao percorrer C é (0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0).
  • Devemos integrar a função escalar f(x,y)=x^{2}+y^{2} ao longo do comprimento de arco da curva C.

Passo 2

Lembrete e fórmula que vamos usar (aulas rápidas).
  • Integral de uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é
\int_{C} f(x,y)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt.
  • Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big|\mathbf{r}'(t)\big|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}. Essa fórmula vem da definição de ds como comprimento de um pequeno segmento de curva: ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt.
  • Estratégia: dividir C em três segmentos (as arestas do triângulo), parametrizá-los obedecendo a orientação anti-horária e aplicar a fórmula em cada segmento; depois somar as contribuições.

Passo 3

Dividir C em três curvas e escolhê-las com parâmetros crescentes (orientação anti-horária).
  • Segmento C_{1}: de (0,0) até (1,0). Parametrização conveniente:
\mathbf{r}_{1}(t)=(t,0),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=t, y(t)=0, \mathbf{r}_{1}'(t)=(1,0), \big|\mathbf{r}_{1}'(t)\big|=1.
  • Segmento C_{2}: de (1,0) até (0,1) (a hipotenusa). Parametrização linear:
\mathbf{r}_{2}(t)=(1-t,t),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=1-t, y(t)=t, \mathbf{r}_{2}'(t)=(-1,1), \big|\mathbf{r}_{2}'(t)\big|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Segmento C_{3}: de (0,1) até (0,0). Parametrização:
\mathbf{r}_{3}(t)=(0,1-t),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=0, y(t)=1-t, \mathbf{r}_{3}'(t)=(0,-1), \big|\mathbf{r}_{3}'(t)\big|=1.
Observação: cada parâmetro vai de 0 a 1, e as parametrizações obedecem à orientação anti-horária dada.

Passo 4

Calcular a contribuição do segmento C_{1}.
  • Em C_{1} temos f(x,y)=x^{2}+y^{2}=t^{2}+0=t^{2} e \big|\mathbf{r}_{1}'(t)\big|=1. Logo
\int_{C_{1}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\int_{0}^{1} t^{2}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{1} t^{2}\,dt.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}.
  • Portanto \displaystyle \int_{C_{1}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Calcular a contribuição do segmento C_{2} (hipotenusa).
  • Em C_{2} temos x=1-t, y=t. Então
x^{2}+y^{2}=(1-t)^{2}+t^{2}=1-2t+2t^{2}.
E \big|\mathbf{r}_{2}'(t)\big|=\sqrt{2}. Logo
\int_{C_{2}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\int_{0}^{1}\big(1-2t+2t^{2}\big)\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{1}\big(1-2t+2t^{2}\big)\,dt.
  • Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1}\big(1-2t+2t^{2}\big)\,dt=\left[t - t^{2} + \dfrac{2t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}.
  • Portanto
\int_{C_{2}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\sqrt{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Calcular a contribuição do segmento C_{3}.
  • Em C_{3} temos x=0, y=1-t. Então
x^{2}+y^{2}=0+(1-t)^{2}=(1-t)^{2}=1-2t+t^{2},
e \big|\mathbf{r}_{3}'(t)\big|=1. Assim
\int_{C_{3}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\int_{0}^{1}(1-2t+t^{2})\,dt.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{1}(1-2t+t^{2})\,dt=\left[t - t^{2} + \dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
  • Portanto \displaystyle \int_{C_{3}}(x^{2}+y^{2})\,ds=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Somar as contribuições dos três segmentos para obter a integral total sobre C.
  • Soma:
\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,ds =\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}+\int_{C_{3}} =\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+\dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)

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