Questão 5. ( 1,5 ptos.) Calcule \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrida em sentido anti-horário.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
Pede-se calcular \displaystyle \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds, onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1), percorrido em sentido anti-horário.
Informação importante: o percurso C é a borda do triângulo, orientada anti-horário, portanto a ordem dos vértices ao percorrer C é (0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0).
Devemos integrar a função escalar f(x,y)=x^{2}+y^{2} ao longo do comprimento de arco da curva C.
Passo 2
Lembrete e fórmula que vamos usar (aulas rápidas).
Integral de uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big|\mathbf{r}'(t)\big|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}. Essa fórmula vem da definição de ds como comprimento de um pequeno segmento de curva: ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt.
Estratégia: dividir C em três segmentos (as arestas do triângulo), parametrizá-los obedecendo a orientação anti-horária e aplicar a fórmula em cada segmento; depois somar as contribuições.
Passo 3
Dividir C em três curvas e escolhê-las com parâmetros crescentes (orientação anti-horária).
Segmento C_{1}: de (0,0) até (1,0). Parametrização conveniente:
\mathbf{r}_{1}(t)=(t,0),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=t, y(t)=0, \mathbf{r}_{1}'(t)=(1,0), \big|\mathbf{r}_{1}'(t)\big|=1.
Segmento C_{2}: de (1,0) até (0,1) (a hipotenusa). Parametrização linear:
\mathbf{r}_{2}(t)=(1-t,t),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=1-t, y(t)=t, \mathbf{r}_{2}'(t)=(-1,1), \big|\mathbf{r}_{2}'(t)\big|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Segmento C_{3}: de (0,1) até (0,0). Parametrização:
\mathbf{r}_{3}(t)=(0,1-t),\qquad t\in[0,1].
Então x(t)=0, y(t)=1-t, \mathbf{r}_{3}'(t)=(0,-1), \big|\mathbf{r}_{3}'(t)\big|=1.
Observação: cada parâmetro vai de 0 a 1, e as parametrizações obedecem à orientação anti-horária dada.
Passo 4
Calcular a contribuição do segmento C_{1}.
Em C_{1} temos f(x,y)=x^{2}+y^{2}=t^{2}+0=t^{2} e \big|\mathbf{r}_{1}'(t)\big|=1. Logo