QUESTÃO 1. (3,0 ptos) Sejam os seguintes vetores: e . Determine:
A área do paralelogramo formado pelos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . O objetivo é descobrir a área do paralelogramo que esses dois vetores formam. Para isso, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) que nos dá uma forma de calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer o produto vetorial entre dois vetores. Se temos e , o produto vetorial é dado por:
Isso significa que a gente vai calcular o determinante dessa matriz para achar o novo vetor resultante.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
u times v = i & j & k 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 0
Calculando o determinante, temos:
u times v = i(3 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot (-1))
Simplificando cada parte:
u times v = i(0 + 1) - j(0 + 1) + k(-1 + 3)
Então:
u times v = i(1) - j(1) + k(2)
Ou seja:
u times v = (1, -1, 2)
Passo 4
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, a próxima etapa é calcular o módulo (ou norma) desse vetor. A fórmula para o módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é: