QUESTÃO 1. (3,0 ptos) Sejam os seguintes vetores: u=(1,3,1) e v=(-1,-1,0). Determine:
A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, u = (1, 3, 1) e v = (-1, -1, 0). O objetivo é descobrir a área do paralelogramo que esses dois vetores formam. Para isso, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) que nos dá uma forma de calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer o produto vetorial entre dois vetores. Se temos u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial u times v é dado por:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Isso significa que a gente vai calcular o determinante dessa matriz para achar o novo vetor resultante.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
u times v = i & j & k 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 0
Calculando o determinante, temos:
u times v = i(3 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot (-1))
Simplificando cada parte:
u times v = i(0 + 1) - j(0 + 1) + k(-1 + 3)
Então:
u times v = i(1) - j(1) + k(2)
Ou seja:
u times v = (1, -1, 2)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, a próxima etapa é calcular o módulo (ou norma) desse vetor. A fórmula para o módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (1, -1, 2):
|u times v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é raiz6 unidades de área.

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