Sendo A, B e C matrizes, classifique como V ou F cada uma das seguintes afirmações:
a) Se existe o produto A cdot B, então existe o produto B cdot A.
b) Existe o produto A cdot A^t.
c) Se existem os produtos A cdot B e B cdot A, então A cdot B=B cdot A.
d) Se existe o produto (A cdot B) cdot C, então (A cdot B) cdot C=A cdot(B cdot C).

Passo 1

O enunciado pede para identificar se cada afirmação sobre existência e propriedades do produto de matrizes é verdadeira ou falsa. Vamos usar as regras de compatibilidade de dimensões para existência de produtos e lembrar que multiplicação de matrizes é, em geral, não comutativa, mas é associativa.

Passo 2

Analisando (a): “Se existe o produto Acdot B, então existe o produto Bcdot A.”
Suponha dim(A)=mtimes n e dim(B)=ntimes p. Então Acdot B existe e tem dimensão mtimes p. Para existir Bcdot A precisaríamos que dim(B)=(ntimes p) e dim(A)=(mtimes n) sejam compatíveis, ou seja, p=m. Mas nada garante p=m. Por exemplo, se A é 2times3 e B é 3times4, Acdot B existe ( 2times4), mas Bcdot A não existe. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Existe o produto Acdot A^t.”
Se dim(A)=mtimes n, então dim(A^t)=ntimes m. Claramente o número de colunas de A ( n) bate com o número de linhas de A^t ( n), logo Acdot A^t existe e vale uma matriz mtimes m. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): “Se existem os produtos Acdot B e Bcdot A, então Acdot B=Bcdot A.”
Mesmo quando ambos existem, em geral não são iguais, pois multiplicação de matrizes não é comutativa. Exemplo simples em 2times2:
A=1 & 00 & 0, B=0 & 10 & 0
Calculando,
A,B=0 & 10 & 0, B,A=0 & 00 & 0,
logo A,Bneq B,A. A afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando (d): “Se existe o produto (Acdot B)cdot C, então (Acdot B)cdot C = Acdot (Bcdot C).”
A multiplicação de matrizes é associativa sempre que as dimensões permitem os dois produtos. Se (Acdot B)cdot C existe, então Acdot(Bcdot C) também existe e vale exatamente o mesmo resultado. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V

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