Sendo
e
matrizes, classifique como
ou
cada uma das seguintes afirmações:
a) Se existe o produto
, então existe o produto
.
b) Existe o produto
.
c) Se existem os produtos
e
, então
.
d) Se existe o produto
, então
.
a) Se existe o produto
b) Existe o produto
c) Se existem os produtos
d) Se existe o produto
Passo 1
O enunciado pede para identificar se cada afirmação sobre existência e propriedades do produto de matrizes é verdadeira ou falsa. Vamos usar as regras de compatibilidade de dimensões para existência de produtos e lembrar que multiplicação de matrizes é, em geral, não comutativa, mas é associativa.
Passo 2
Analisando (a): “Se existe o produto
, então existe o produto
.”
Suponha e
. Então
existe e tem dimensão
. Para existir
precisaríamos que
e
sejam compatíveis, ou seja,
. Mas nada garante
. Por exemplo, se
é
e
é
,
existe (
), mas
não existe. Portanto, a afirmação é falsa.
Suponha
Passo 3
Analisando (b): “Existe o produto
.”
Se , então
. Claramente o número de colunas de
(
) bate com o número de linhas de
(
), logo
existe e vale uma matriz
. A afirmação é verdadeira.
Se
Passo 4
Analisando (c): “Se existem os produtos
e
, então
.”
Mesmo quando ambos existem, em geral não são iguais, pois multiplicação de matrizes não é comutativa. Exemplo simples em :
Mesmo quando ambos existem, em geral não são iguais, pois multiplicação de matrizes não é comutativa. Exemplo simples em
Calculando,
logo
. A afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando (d): “Se existe o produto
, então
.”
A multiplicação de matrizes é associativa sempre que as dimensões permitem os dois produtos. Se existe, então
também existe e vale exatamente o mesmo resultado. A afirmação é verdadeira.
A multiplicação de matrizes é associativa sempre que as dimensões permitem os dois produtos. Se
Resposta
a) F
b) V
c) F
d) V
b) V
c) F
d) V