Questão. (2,5 pts)
Calcule a derivada da função \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+8}} no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+8}}
no ponto x=0.
Para resolver vamos usar a regra do quociente (derivada de u/v) e a regra da cadeia para \sqrt{x^{2}+8}=(x^{2}+8)^{1/2}.

Passo 2

Seja u(x)=x^{2}+1 e v(x)=\sqrt{x^{2}+8}. Então
u'(x)=2x,
e, pela regra da cadeia,
v'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+8)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8}}.
Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\sqrt{x^{2}+8}-(x^{2}+1)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8}}}{(\sqrt{x^{2}+8})^{2}}.

Passo 3

Como (\sqrt{x^{2}+8})^{2}=x^{2}+8, temos
f'(x) =\frac{2x\sqrt{x^{2}+8}-\displaystyle\frac{x(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}+8}}}{x^{2}+8} =\frac{2x\sqrt{x^{2}+8}-\frac{x(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}+8}}}{x^{2}+8}.

Passo 4

Para x=0, note que o numerador fica
2\cdot 0\cdot\sqrt{0^{2}+8}-\frac{0\,(0^{2}+1)}{\sqrt{0^{2}+8}}=0-0=0
e o denominador é 0^{2}+8=8. Logo
f'(0)=\frac{0}{8}=0.

Resposta

f'(0)=0

Exercícios relacionados