Questão.(2,5 pts) Considere a função f definida por
f(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}
(a) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) usando apenas manipulações algébricas.
(b) Usando a Regra de L’Höspital verifique que \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\frac{1}{8}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}
e pede:
(a) calcular \lim_{x\to1}f(x) usando manipulações algébricas;
(b) verificar por L’Hôpital que o mesmo limite vale \tfrac{1}{8}.
O conteúdo envolve limites do tipo 0/0, racionalização por conjugada e Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para (a), note que ao substituir x=1 obtemos numerador \sqrt{4}-2=0 e denominador 1^2-1=0, ou seja, temos forma indeterminada 0/0. Vamos racionalizar o numerador multiplicando por \sqrt{x+3}+2.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x+3}+2, temos
\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{(x+3)-4}{(x^2-1)\,(\sqrt{x+3}+2)} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}.

Passo 4

Cancelamos o fator x-1 (válido para x\neq1) e, em seguida, avaliamos o limite:
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3}+2)} =\frac{1}{2\cdot4} =\frac{1}{8}.

Passo 5

Para (b), como a forma é 0/0, aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x+3}-2\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}, \qquad \frac{d}{dx}(x^2-1)=2x.

Passo 6

O limite segundo L’Hôpital é
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}}{2x} =\frac{\frac{1}{2\sqrt{4}}}{2\cdot1} =\frac{\frac{1}{4}}{2} =\frac{1}{8},
confirmando o resultado de (a).

Resposta

(a) \frac{1}{8}
(b) \frac{1}{8}

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