Questão.(2,5 pts) Considere a função
definida por
(a) Calcule
usando apenas manipulações algébricas.
(b) Usando a Regra de L’Höspital verifique que
(b) Usando a Regra de L’Höspital verifique que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) calcular usando manipulações algébricas;
(b) verificar por L’Hôpital que o mesmo limite vale .
O conteúdo envolve limites do tipo , racionalização por conjugada e Regra de L’Hôpital.
(a) calcular
(b) verificar por L’Hôpital que o mesmo limite vale
O conteúdo envolve limites do tipo
Passo 2
Para (a), note que ao substituir
obtemos numerador
e denominador
, ou seja, temos forma indeterminada
. Vamos racionalizar o numerador multiplicando por
.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador por
, temos
Passo 4
Cancelamos o fator
(válido para
) e, em seguida, avaliamos o limite:
Passo 5
Para (b), como a forma é
, aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
Passo 6
O limite segundo L’Hôpital é
confirmando o resultado de (a).
Resposta
(a)
(b)
(b)