3^a Questão (8 pts) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(a) f(x)=(x^2+1) cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f(x) = (x^2 + 1) cos(x) . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do produto, que é usada quando temos duas funções multiplicando uma à outra. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas básicas de x^2 + 1 e de cos(x) .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
  • Primeira função (u): u(x) = x^2 + 1
  • Segunda função (v): v(x) = cos(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas duas funções separadamente:
  • Derivada de u(x) = x^2 + 1 :
u'(x) = 2x
  • Derivada de v(x) = cos(x) :
v'(x) = -sin(x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto, que diz que a derivada de u(x)v(x) é u'(x)v(x) + u(x)v'(x) , temos:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = 2x cdot cos(x) + (x^2 + 1) cdot (-sin(x))

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x) = 2x cos(x) - (x^2 + 1) sin(x)

Resposta

A derivada da função f(x) = (x^2 + 1) cos(x) é:
f'(x) = 2x cos(x) - (x^2 + 1) sin(x)

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