3^a Questão (8 pts) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(b) g(x)=e^x(x^2+1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função g(x) = e^xx^2 + 1. Aqui estamos trabalhando com derivadas de funções que são frações, então vamos usar a Regra do Quociente.

Passo 2

A Regra do Quociente é usada quando temos uma função na forma de uma divisão de duas funções, ou seja, f(x)h(x). A derivada dessa função é dada por:
g'(x) = f'(x)h(x) - f(x)h'(x)[h(x)]^2
No nosso caso, f(x) = e^x e h(x) = x^2 + 1.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de f(x) e h(x):
f'(x) = ddx e^x = e^x
h'(x) = ddx (x^2 + 1) = 2x

Passo 4

Agora, substituímos f(x), f'(x), h(x) e h'(x) na fórmula da Regra do Quociente:
g'(x) = e^x(x^2 + 1) - e^x(2x)(x^2 + 1)^2

Passo 5

Podemos simplificar o numerador fatorando e^x:
g'(x) = e^x[(x^2 + 1) - 2x](x^2 + 1)^2 = e^x(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada da função g(x) é:
g'(x) = e^x(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 1)^2

Exercícios relacionados