Use uma integral dupla para determinar a área da região:
A região delimitada pelo cardioide r = 1 + sen theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares delimitada pelo cardioide r = 1 + sintheta. Vamos usar o conteúdo de cálculo de área via integral dupla em coordenadas polares, em que dA = r,dr,dtheta, com theta variando de 0 a 2pi e r de 0 até 1+sintheta.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla para a área:
A = integral duplaR dA = integraltheta=0^2piintegralr=0^1+sintheta r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^1+sintheta r,dr = (1+sintheta)^22
Substituindo em A, fica
A = 12 integral0^2pi (1+sintheta)^2 ,dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+sintheta)^2 = 1 + 2sintheta + sin^2theta = 1 + 2sintheta + 1-cos2theta2 = 32 + 2sintheta - 12cos2theta
Ao integrar de 0 a 2pi, os termos sintheta e cos2theta têm integral zero, restando
integral0^2pi(1+sintheta)^2,dtheta = 32cdot2pi = 3pi

Passo 5

Logo,
A = 12 cdot 3pi = 3pi2

Resposta

3pi2

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