Questão 3 (1,5 pts) - Calcule a integral dupla: \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde R é a região delimitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=1, restrita ao primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares, pois a região e o integrando têm simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
então
x^{2}+y^{2} = r^{2},
e o elemento de área dA se transforma em r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Os limites em r vão de 1 a 2 (entre as circunferências de raio \sqrt{1} e \sqrt{4}), e em \theta vão de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante). Assim
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=1}^{2} \bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{15}{4}\,d\theta = \frac{15}{4}\,\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{15}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{8}.

Resposta

\boxed{\frac{15\pi}{8}}

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