Questão 1 ( 1,5 pts)- Determine os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos ou pontos de sela) da função: f(x, y)=x^{2}+y^{2} sujeita à restrição: x+2 y=6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x^{2}+y^{2} sujeitos à restrição linear x+2y=6 e classificá-los como máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz que, em um ponto crítico sujeito a g(x,y)=0, vale \nabla f = \lambda \nabla g.

Passo 2

Defina a função de restrição
g(x,y)=x+2y-6=0
As condições de Lagrange são
\nabla f(x,y)=(2x,2y)
\nabla g(x,y)=(1,2)
e o sistema
2x = \lambda \cdot 1
2y = \lambda \cdot 2
x + 2y = 6

Passo 3

Da primeira equação obtemos \lambda=2x. Da segunda, dividindo por 2, vem y=\lambda. Logo
y = 2x.
Substituindo em x+2y=6, temos
x + 2(2x)=6 \quad\Longrightarrow\quad 5x=6 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{6}{5},
e então
y=2\cdot\frac{6}{5}=\frac{12}{5}.
O único ponto crítico sujeito à restrição é \bigl(\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\bigr).

Passo 4

A função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é convexa (seu Hessiano é positivo definido), e a restrição é uma reta. Geometricamente, f mede o quadrado da distância ao origem, que sobre uma reta atinge um único mínimo e não tem máximo (a reta é ilimitada). Logo, em \bigl(\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\bigr) temos um mínimo, não há máximos nem pontos de sela.

Resposta

O ponto crítico é \bigl(\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\bigr), que é um mínimo global sujeito à restrição. Não há máximo.

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