Questão 1 ( 1,5 pts)- Determine os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos ou pontos de sela) da função:
sujeita à restrição:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
sujeitos à restrição linear
e classificá-los como máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz que, em um ponto crítico sujeito a
, vale
.
Passo 2
Defina a função de restrição
As condições de Lagrange são
e o sistema
Passo 3
Da primeira equação obtemos
. Da segunda, dividindo por
, vem
. Logo
Substituindo em
, temos
e então
O único ponto crítico sujeito à restrição é
.
Passo 4
A função
é convexa (seu Hessiano é positivo definido), e a restrição é uma reta. Geometricamente,
mede o quadrado da distância ao origem, que sobre uma reta atinge um único mínimo e não tem máximo (a reta é ilimitada). Logo, em
temos um mínimo, não há máximos nem pontos de sela.
Resposta
O ponto crítico é
, que é um mínimo global sujeito à restrição. Não há máximo.