Questão 2 ( 2,0 pts) - Calcule o volume da região sólida limitada por: z=-5 e z=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sólida S limitada inferiormente pelo plano z=-5 e superiormente pela superfície parabólica z=4 - x^{2} - y^{2}. O método é usar integração dupla (ou tripla reduzida) para calcular volume como a integral da diferença entre as duas funções.

Passo 2

Para existir ponto em S precisamos ter
-5 \le 4 - x^{2} - y^{2}
que equivale a
x^{2} + y^{2} \le 9.
Logo, a projeção D de S no plano xy é o disco de raio 3.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \Bigl[\bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr) - (-5)\Bigr]\,dA = \iint_{D} \bigl(9 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA.
Para facilitar, usamos coordenadas polares \;x = r\cos\theta,\;y = r\sin\theta,\;dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Em polares, r varia de 0 a 3 e \theta de 0 a 2\pi. Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} (9 - r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} \bigl(9r - r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{3} \bigl(9r - r^{3}\bigr)\,dr.

Passo 5

Calculando a integral em r:
\int_{0}^{3} (9r - r^{3})\,dr = \left[\frac{9}{2}r^{2} - \frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2}\cdot 9 - \frac{1}{4}\cdot 81 = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
V = 2\pi \cdot \frac{81}{4} = \frac{81\pi}{2}.

Resposta

\frac{81\pi}{2}

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