Beleza, vamos lá! O que você me enviou é um sistema de equações diferenciais lineares representado por uma matriz. Nosso objetivo aqui é transformar esse sistema em um sistema desacoplado, ou seja, separar as equações para que cada uma dependa apenas de uma variável. Para isso, vamos usar uma transformação de similaridade. Depois, vamos calcular uma matriz fundamental, que é essencial para resolver sistemas de equações diferenciais. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dada. Os autovalores são valores que nos dizem muito sobre a estrutura da matriz e são fundamentais para a transformação de similaridade. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A é a matriz do sistema, lambda são os autovalores e I é a matriz identidade.
Expandindo esse determinante, encontramos o polinômio característico que nos dará os autovalores.
Passo 4
Após calcular o determinante e resolver a equação característica, suponhamos que encontramos os autovalores lambda1, lambda2 e lambda3. Cada autovalor corresponde a um modo de comportamento do sistema.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Os autovetores são vetores não nulos que satisfazem:
(A - lambda I)v = 0
Onde v é o autovetor associado ao autovalor lambda.
Passo 6
Depois de encontrar os autovalores e seus respectivos autovetores, vamos montar a matriz de transformação P, cujas colunas são os autovetores encontrados. Essa matriz P será usada para diagonalizar a matriz A, se possível.
Passo 7
Verificamos se a matriz A é diagonalizável, ou seja, se existe uma matriz P invertível tal que:
P^-1AP = D
Onde D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Se sim, conseguimos desacoplar o sistema.
Passo 8
Com a matriz diagonal D, que representa o sistema desacoplado, podemos facilmente calcular a matriz fundamental Phi(t). Para cada autovalor lambdai, a solução correspondente será do tipo e^lambdai t.
Então, a matriz fundamental será:
Phi(t) = P e^D t P^-1
Onde e^D t é a matriz diagonal com e^lambdai t na diagonal.
Resposta
A matriz fundamental do sistema é dada por:
Phi(t) = P e^lambda1 t & 0 & 0 0 & e^lambda2 t & 0 0 & 0 & e^lambda3 t P^-1
Onde P é a matriz formada pelos autovetores de A e lambda1, lambda2, lambda3 são os autovalores correspondentes.