Questão 4) 6 pts) Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem e explique o motivo de cada uma delas ser uma integral imprópria.
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{4}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{4}+1}\,dx
e explicar por que ela é imprópria. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com intervalo infinito e o teste de comparação com integrais do tipo \displaystyle\int_{1}^{+\infty}x^{-p}dx.

Passo 2

Essa integral é imprópria porque o limite superior de integração é +\infty, ou seja, o intervalo de integração não é limitado.

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação, note que, para todo x\ge1,
0 < \frac{1}{x^{4}+1} \le \frac{1}{x^{4}}.

Passo 4

Sabemos que a integral
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Tomando p=4,
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{4}}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b} x^{-4}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{3x^{3}}\Bigr]_{1}^{b} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Como \int_{1}^{+\infty}x^{-4}\,dx converge e \frac{1}{x^{4}+1}\le\frac{1}{x^{4}} para x\ge1, pelo teste da comparação a integral dada também converge.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{4}+1}\,dx converge.

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