Questão 3 (4 pts): Uma casca esférica isolante, com raio interno a=2,00 \mathrm{~cm} e raio externo b=8,00 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição radial de carga não uniforme dada por
\rho(r)=14,1 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{3}\left(\frac{r^{3}}{b^{3}}\right),
onde r é a distância ao centro da esfera. Determine:
(a) A carga total contida na casca esférica.
(b) O módulo do campo elétrico em um ponto localizado a uma distância 2 b do centro da esfera.
(c) A carga envolvida por uma superfície gaussiana esférica de raio \frac{a+b}{2}.
(d) O módulo do campo elétrico a uma distância \frac{a+b}{2} do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica isolante de raio interno a=0,02,m e raio externo b=0,08,m com densidade volumétrica
\rho(r)=14{,}1\times10^{-12}\,\frac{r^3}{b^3}\\ \mathrm{C/m^3}.
Para resolver usaremos (i) o cálculo da carga total via
Q=\int_V \rho(r)\,dV
em coordenadas esféricas, e (ii) a Lei de Gauss para obter o campo elétrico
E(r)=\frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 2

Calculamos a carga total Q_{\text{tot}} integrando de r=a até r=b:
Q_{\text{tot}} =\int_{r=a}^{b}\rho(r)\,4\pi r^2\,dr =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-12}}{b^3}\int_{a}^{b}r^5\,dr =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-12}}{b^3}\left[\frac{r^6}{6}\right]_{a}^{b}.
Substituindo a=0,02,m e b=0,08,m obtemos
Q_{\text{tot}} =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-12})}{6\,(0,08)^3}\bigl((0,08)^6-(0,02)^6\bigr) \approx1,51\times10^{-14}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Para r=2b=0,16,m todo o arranjo se comporta como carga pontual Q_{\text{tot}}. Pela Lei de Gauss:
E(2b) =\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0\,(2b)^2} =\frac{1,51\times10^{-14}}{4\pi\,(8,85\times10^{-12})\,(0,16)^2} \approx5,3\times10^{-3}\,\mathrm{N/C}.

Passo 4

A carga contida dentro de uma esfera de raio
R=\frac{a+b}{2}=0,05\\ \mathrm{m}
é
Q_{\mathrm{int}}(R) =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-12}}{b^3}\int_{a}^{R}r^5\,dr =4\pi\frac{14{,}1\times10^{-12}}{b^3}\left[\frac{r^6}{6}\right]_{a}^{R}.
Numericamente:
Q_{\mathrm{int}}(R) =\frac{4\pi\,(14{,}1\times10^{-12})}{6\,(0,08)^3}\bigl((0,05)^6-(0,02)^6\bigr) \approx8,98\times10^{-16}\,\mathrm{C}.

Passo 5

O campo elétrico no ponto r=R=0,05,m é dado por
E(R) =\frac{Q_{\mathrm{int}}(R)}{4\pi\varepsilon_0\,R^2} =\frac{8,98\times10^{-16}}{4\pi\,(8,85\times10^{-12})\,(0,05)^2} \approx3,23\times10^{-3}\,\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) Q_{\text{tot}}\approx1,51\times10^{-14}\,\mathrm{C}.
(b) E(2b)\approx5,3\times10^{-3}\,\mathrm{N/C}.
(c) Q_{\mathrm{int}}\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\approx8,98\times10^{-16}\,\mathrm{C}.
(d) E\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\approx3,23\times10^{-3}\,\mathrm{N/C}.

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