Questão 2 (2 pts): Duas cargas puntiformes estão sobre o eixo x : q_{1}=5,0 \mu \mathrm{C} em x_{1}=-3,0 \mathrm{~cm} e q_{2}=2,0 \mu \mathrm{C} em x_{2}=4,0 \mathrm{~cm}. Determine:
(a) A posição ao longo do eixo x onde o campo elétrico resultante das duas cargas é nulo.
(b) O módulo do campo elétrico resultante no ponto x=0, y=4,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais q_{1}=5{,}0\,\mu\mathrm{C}=5{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} em x_{1}=-3{,}0\,\mathrm{cm}=-0,03\,\mathrm{m} e q_{2}=2{,}0\,\mu\mathrm{C}=2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} em x_{2}=4{,}0\,\mathrm{cm}=0,04\,\mathrm{m}. Pede (a) a posição sobre o eixo x onde o campo elétrico resultante é nulo e (b) o módulo do campo no ponto P=(0,\,4{,}0\,\mathrm{cm})=(0,\,0,04\,\mathrm{m}). Vamos usar a lei de Coulomb e superposição de campos.

Passo 2

Para (a), buscamos x tal que
\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=0
no eixo x. Como ambas as cargas são positivas, o único lugar onde os campos se opõem é entre elas. Em módulo, igualamos
\frac{k\,q_1}{(x-x_1)^2}=\frac{k\,q_2}{(x-x_2)^2}
com x_1=-0,03 m e x_2=0,04 m, ou seja
\frac{q_1}{(x+0,03)^2}=\frac{q_2}{(0,04 - x)^2}.

Passo 3

Tirando raiz em ambos os lados e isolando x:
x+0,03=\sqrt{\frac{q_1}{q_2}}\,(0,04 - x) \quad\Rightarrow\quad x\bigl(1+\sqrt{q_1/q_2}\bigr)=0,04\sqrt{\tfrac{q_1}{q_2}}-0,03
\Rightarrow\quad x=\frac{0,04\sqrt{5{,}0/2{,}0}-0,03}{1+\sqrt{5{,}0/2{,}0}} \approx0,0129\;\mathrm{m}.

Passo 4

Para (b), no ponto P calculamos vetorialmente \mathbf{E}_i=k\,q_i\,\mathbf{u}_i/r_i^2. Os vetores posição de cada carga até P são
\mathbf{r}_1=(0-(-0,03),\,0,04-0)=(0,03,\,0,04),\quad \mathbf{r}_2=(0-0,04,\,0,04-0)=(-0,04,\,0,04),
r_1=\sqrt{0,03^2+0,04^2}=0,05\;\mathrm{m},\quad r_2=\sqrt{0,04^2+0,04^2}\approx0,0566\;\mathrm{m}.
As direções unitárias são
\mathbf{u}_1=(0,6,\,0,8),\quad \mathbf{u}_2=\frac{(-0,04,0,04)}{0,0566}\approx(-0,707,\,0,707).

Passo 5

Calculamos os módulos:
E_1=\frac{9{,}0\times10^9\cdot5{,}0\times10^{-6}}{(0,05)^2} =1,8\times10^7\;\mathrm{N/C}, \quad E_2=\frac{9{,}0\times10^9\cdot2{,}0\times10^{-6}}{(0,0566)^2} \approx5,63\times10^6\;\mathrm{N/C}.
As componentes vetoriais são
\mathbf{E}_1=E_1\mathbf{u}_1=(1,08\times10^7,\,1,44\times10^7), \quad \mathbf{E}_2=E_2\mathbf{u}_2\approx(-3,98\times10^6,\,3,98\times10^6).
Somando e tirando módulo:
\mathbf{E}=(6,82\times10^6,\,1,84\times10^7), \quad |\mathbf{E}|=\sqrt{(6,82\times10^6)^2+(1,84\times10^7)^2} \approx1,96\times10^7\;\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) x\approx0,0129\;\mathrm{m} (1,29 cm) entre as cargas.
(b) |\mathbf{E}|\approx1,96\times10^7\;\mathrm{N/C}.

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